高等数学 课件 D3_1微分中值定理.ppt

4. 思考: 在 即 当 时 问是否可由此得出 不能 ! 因为 是依赖于 x 的一个特殊的函数. 因此由上式得 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 . 应用拉格朗日中值定理得 上对函数 作业 P134 2, 7, 9 , 11(2) 费马(1601 – 1665) 费马 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德 鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 . 引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的. 拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都可直接或 间接地追溯到他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 柯西(1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的是为巴黎综合学校 编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积分 在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 广泛而深远 . 对数学的影响 他是经典分析的奠基人之一, 他为微积 分所奠定的基础推动了分析数学的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 求证存在 使 1. 设 可导，且 在 连续， 证: 设辅助函数 因此至少存在 显然 在 上满足罗尔定理条件, 即 使得 设 证明对任意 有 证： 2. 不妨设 * * * 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 * * * 反向思维，做辅助函数 * 目录 上页 下页 返回 结束 第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔( Rolle )定理 第一节 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 且 存在 证: 设 则 证毕 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 例如, 例1. 证明方程 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设 二、拉格朗日中值定理 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . 证毕 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . 令 则 例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: 经验: 欲证 时 只需证在 I 上 例3. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 即 因为 故 因此应有 三、柯西(Cauchy)中值定理 分析: 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 满足 : 问题转化为证 构造辅助函数 证: 作辅助函数 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 ? 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结