高数空间解析几何.pptx

曲面讨论的两个基本问题：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知方程F(x,y,z)=0，研究这方程的图形；二、旋转曲面定直线L称为旋转轴.一条平面曲线C绕其平面上一条直线L旋转所形成的曲面，称为旋转曲面.

绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程.建立yoz面上曲线C:f(y,z)=0设M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点，过点M作平面垂直于z轴，交z轴于点P(0,0,z)，交曲线C于点M0(0,y0,z0).显然xyzO因为M0在曲线C上，故f(y0,z0)=0即得C绕z轴旋转的旋转曲面方程:同理,C绕y轴旋转的旋转曲面方程:CM0.P.M

L直线L绕另一条与L相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面圆锥面的半顶角a(0ap/2)a).建立以顶点为原点,旋转轴为z轴,半顶角为a的圆锥面方程yoz坐标面上直线L的方程z=ycota故L绕z轴旋转的方程z=ycota令cota=a,则所求圆锥面方程为P25例4

P26例5分别绕x、z轴旋xzo绕x轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,曲面方程为绕z轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,曲面方程为xzo

yoz坐标面上的抛物线z=ay2绕z轴旋转所得的曲面方程为称为旋转抛物面.当a0时，旋转抛物面的开口向下.一般地，所表示的曲面称为椭圆抛物面。xyzO请写出旋转椭球面方程

动直线L沿给定曲线C平移所形成的曲面称为柱面.曲线C称为柱面的准线，平移的动直线L叫柱面的母线.

LC方程f(x,y)=0在xoy平面上表示一条曲线C在Oxyz空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面SxyzO设xOy平面上点N(x,y)在曲线C上,即f(x,y)=0过N作z轴平行线l,则l上的点M(x,y,z)满足空间坐标系Oxyz中的三元方程f(x,y)=0反之亦然因此方程f(x,y)=0在oxyz空间坐标系中表示由平行z轴直线l沿曲线C平移所成曲面.M.N

平行于z轴的直线为母线的柱面.方程f(x,y)=0在空间表示以xoy坐标面上的曲线为准线，类似地，方程f(y,z)=0在空间表示以yoz坐标面上的曲线为准线，平行于x轴的直线为母线的柱面.方程f(x,z)=0在空间表示以xoz坐标面上的曲线为准线，平行于y轴的直线为母线的柱面.简单地说，平面坐标系中的曲线方程在空间坐标系中就表示柱面--举例

xyzOxyzO平行于z轴的直线为母线.xoy坐标面上的椭圆为准线、

平行于y轴的直线为母线的柱面,方程在空间表示以xoz坐标面上的椭圆为准线，xyzO2

xyzO平行于z轴的直线为母线.xoy坐标面上的抛物线为准线、

平行于z轴的直线为母线.xyzOxoy坐标面上的抛物线为准线、

四、二次曲面截痕法：曲面形状曲面方程,平面称为一次曲面．所表示的曲面称为二次曲面.三元二次方程平面和曲面的交线是平面曲线;二平面的交线是直线;已知平行截面面积可计算体积;已知平行截面形状可掌握曲面形状．平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）,二个曲面的交线是空间曲线;

①椭圆锥面当x=0为二条相交直线y=±bz1x2o3y

一般锥面---扩充知识点n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；准线顶点n次齐次方程F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面x0zyt是任意数

②椭球面1、椭球面与三个坐标面的交线：

同理与平面x=x0和y=y0的交线也是椭圆.椭球面与平面z=z0的交线为椭圆

3、椭球面的几种特殊情况：的旋转椭球面由椭圆绕轴旋转生成可写成方程可写为由圆绕x轴或y轴旋转生成的球面xyzO

双曲面③单叶双曲面xyzo对垂直于z轴的平面z