第1章 空间解析几何.ppt

3、平面的一般式方程 解 １、空间曲线的一般方程 第四节 空间直线的方程 第一章 空间解析几何 解析几何产生于十七世纪前半叶，它使平面上的曲线与含有两个未知数的代数方程之间建立了联系。解析几何的创立者是Descartes,Rene。 　　解析几何的两个基本观念是： 　　一、坐标观念； 　　二、将带两个未知数的方程和平面上的曲线相对比的观念。 　　用代数方法研究几何图形的各种性质。 没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有益的。 Descartes,Rene 第一节 空间直角坐标系 第二节 空间向量及其运算 第四节 空间直线的方程 第五节 常见空间曲面、曲线 第三节 空间平面的方程 第一节 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 定义：在空间选定一点Ｏ，过Ｏ点作三条互相垂直的数轴Ｏx,Oy和Oz,使得三条数轴Ｏx,Oy和Oz 满足右手法则，Ｏ点连同三条数轴构成了一个空间直角坐标系。 O 记为Ｏxyz,Ｏ称为坐标原点，三条坐标轴分别称为Ｏx轴,Oy轴和Oz轴 。 二、空间直角坐标系的八个卦限 z y x 0 z y x 0 . z y x Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 0 M x y N z (x,y,z) M ? (x,y,z) 点的坐标 . 0 z y x 0 M x y N z (x,y,z) (x,y,z) 坐标和点 ? M . 三、两点间的距离 1、点到原点的距离 点M(x,y,z)到原点O的距离 2、两点间的距离 两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2) : 例1.1 求点 (1，2，3)到点(2，0，1)的距离d. 解 第二节 空间向量及其运算 一、向量的概念 1、定义 既有大小，又有方向的量称之为向量。 以M1为起点，M2为终点的向量记为 2、相关概念 一般地研究向量时，只是指具有大小和方向的量，它的性质与起点位置无关，并称这种向量为自由向量，简称向量。 1、向量的加法 二、向量的运算 2、数量乘向量 一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量. 3、向量共线和共面 4、运算规律 三、向量的代数形式 1、代数形式(坐标形式) 2、代数公式 解 解 解 C点坐标为 所以 四、向量的的内积 2、运算规律 解 证 第三节 空间平面的方程 一、曲面的概念和方程 决定一个平面有几种方法? 二、平面的方程 平面的点法式方程 1、平面的法向量： 2、平面的点法式方程 解 向量的大小称作向量的模，向量的模记作。 模等于1的向量称作单位向量。 模等于0的向量称作零向量，并记作， 并规定：零向量的方向为任意的。 ①如果两向量、的方向与模都相等则称两向量相等， ②将向量、首尾相接，则以的起点为起点以的终点 记为：。 为终点的向量称为向量、的和，记为： 三角形法则。 设是一个数,向量与的乘积是一向量,记作， 其模等于的倍,即 ,且方向规定如下： 单位向量 当时，向量的方向与的方向相同； 当时，向量是零向量; 当时，向量的方向与的方向相反. 若一组向量平行，则称它们共线。 若一组向量平行同一平面，则称它们共面。 1、加法交换律 2、加法结合律 3、数乘结合律 4、数乘分配律 设向量，其中点 一个空间向量可以写成： 的形式,称为向量按坐标向量的分解式。 将一个向量记为： 称为向量的坐标表达式，称为向量的坐标。 设向量：、，为实数 例1.2 设, 求：. 练习 设,求：。 设为起点终点的向量。 由加法法则： 而：、 故： 即：的坐标是终点坐标减去起点坐标。 例1.3 设,求、。 例1.4 设有点、， 试求线段的中点C。 1定义： 对于两个向量和，称它们的模及它们的夹角 余弦的乘积为向量和的内积(?记作,即 。 其中：是和的夹角。 注：(1) 是一个数； (2) . (3) 若，不能推得或. (1)交换律(?; (2)分配律( (3)结合律： (。 3、公式 设、( 则 。 例1.5设,求及。 4、定理 两向量垂直的充要条件为 。 例1.6 设，试证：。 因为，所以。 定义：若曲面与三元方程有下述关系： （1）曲面上任一点的坐标均满足方程, （2）不在曲面上的点的坐标都不