8-1空间解析几何简介.ppt

导数与微分 一、空间直角坐标系及点的坐标 在直角坐标系下 二、两点间距离公式 提示: 例. 求证以 例2. 研究方程 二次曲面∑： 1、旋转曲面 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 例4： 求坐标面 xoz 上的双曲线 2. 二次曲面 2.空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 例2. 求空间曲线 ?: 例如, 直线 又如, xoz 面上的半圆周 3、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 又如, 内容小结 答案: P324 题2(2) 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线 故在空间： 柱面. 表示圆柱面 其上所有点的坐标都满足此方程, 所形成的曲面,称为 圆 一般地,在三维空间 平行于 z 轴; 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 柱面, 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 柱面, 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面 表示母线平行于 z 轴的平面. 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 柱面举例 抛物柱面 平面 ( Cylinder of the second order parabolic ) 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 母线// 轴 双曲柱面 母线// 轴 抛物柱面 母线// 轴 常见的二次曲面 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) 2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号) 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: 四、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度? 后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ? , 得旋转曲面方程为 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形） P324 题1 (2) (1) (3) P324 题2 (1) * 四、空间曲线的一般方程 一、空间直角坐标系及点的坐标 二、两点间距离公式 三、曲面与方程 空间直角坐标系 Longlan_sophiey@163.com 按右手规则 组成一个 过空间一定点 o , 1. 空间直角坐标系的基本概念 由三条互相垂直的数轴 空间直角坐标系. Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 坐标面 卦限(八个) zox面 Ⅰ 点 M 有序数组 (称为点 M 的坐标) 过M点分别作垂直于三坐标轴的三平面， 与三坐标轴分别交与P、Q、R三点 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴 : 坐标面 : 有两点间的距离公式: 对空间两点A、B 例1. 在 z 轴上求与两点 及 等距离的点 . 解: 设该点为 解得： 故所求点为 因为 思考: