多元统计分析第四章.pdf

第4章多元回归分析

简单说，回归分析是根据统计资料建立经验公式的统计方法。例如统计若干焊接点数

据，从而建立由焊接点直径预报焊点剪切强度的预报公式；又如统计若干棵松树的胸径与材

积（可利用木材体积），建立由胸径预报材积公式，也用到回归分析方法。当然回归分析不

只是建立预报公式，还要对预报误差的大小，预报公式的合理性等问题讨论，有着非常丰富

的内容。回归分析可用于预测和控制，在自然科学，社会科学和应用技术中都有重要应用,

它是统计学最重要的工具。回归分析方法和理论从Gauss提出最小二乘法开始，至今已近

200年，目前仍在蓬勃发展，例如在回归诊断、维度缩减、半参数回归、非参数回归、LOGISTIC

回归等方向不断有新的突破。本章介绍参数回归分析模型及其参数估计、检验、模型选择等

理论和有关计算方法。参数回归分析主要分三类：线性回归、可以转化为线性回归的回归和

非线性回归。本章依次介绍这三类模型。有关回归分析的一般理论可参见陈希儒（1984），

方开泰（1988），Seber（1976），何晓群（1997），何晓群、刘文卿（2001）、Richard（2003）。

Robert(1999)和王吉利（2004）提供了许多有趣的应用例子。

4.1多元线性回归模型

首先让我们看一个例子：

例4.1对15个地区调查某种护肤霜销量得表4-1，其中y表示销量（打），x1表示目标

人口数（千人），x表示人均可支配收入（美元）。试建立由目标人口和人均可支配收入预

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测销量的公式。

表4-1护肤霜销量数据

销量（打）y

目标人口（千人）x1人均可支配收入（美元）x2

1622742450

1201803254

2233753802

1312052838

67862347

1692663782

81983708

1923302450

1161952137

55532560

2524304020

2323724427

1442362660

1031572088

2123702605

1

这个问题中，每个地区销量受该地区目标人口数和人均可支配收入数影响，3个变量y、

x、x间存在密切关系。但是它们的关系不是确定性关系而是相关关系。

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常见的变量间关系分为两大类：确定性关系和相关关系。确定性关系也称为函数关系。

具有确定性关系时，自变量完全确定因变量的值。例如存款的年利率c固定，那么存款数z

与总利息y的关系就是确定性关系；z知道后，y就由y=cz确定。又如自由落体的下落高度

1

s与下落时间t的关系sgt2也是确定性关系。现实世界中大量存在相关关系，具有相

2

关关系的变量间不能完全确定，例如焊接点直径与焊点剪切强度（焊接点被拉断所用的力）

是两个变量，它们关系密切，但是焊接点直径不能完全确定焊点剪切强度，焊接点