概率论与数理统计浙大四版第二章5讲.pptx

随机变量函数的分布

一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=的分布.例如，已知圆轴截面直径d的分布，

一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.logo已知t=t0时刻噪声电压V的分布，求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.

设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.

二、离散型随机变量函数的分布例1设X求Y=2X+3的概率函数.～故

如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为X～则Y=g(X)～

如：X～则Y=X2的概率函数为：Y～

三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，例2设X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函数

本例用到变限的定积分的求导公式

故注意到0x4时，即8y16时，此时Y=2X+8

例3设X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.求导可得当y0时,注意到Y=X20，故当y0时，解：设Y和X的分布函数分别为和，

若则Y=X2的概率密度为：

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2≤y}这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.

练习：设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.

练习：设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.01故解：注意到,02当y0时,当03当y1时,时

=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）解：当0y1时,练习设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.

而解：当0y1时,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）

求导得:

例4已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F-1存在且严格递增.证明:设Y的分布函数是G(y),于是对y1,G(y)=1;对y0,G(y)=0;由于

对0≤y≤1,即Y的分布函数是01G(y)=P(Y≤y)=P(X≤(y))02=P(F(X)≤y)=F((y))=y03

BAC求导得Y的密度函数本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.可见,Y服从[0，1]上的均匀分布.

其中，此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是y=g(x)的反函数定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为

下面我们用这个定理来解一个例题.

例5

对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。01这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.02

会用随机变量表示随机事件。A理解分布函数的定义及性质，要会利用分布函数表示事件的概率。B理解离散型随机变量及其分布率的定义、性质，会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。C本章要求：

理解连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分