概率论与数理统计(茆诗松)第二章讲义.pdf

第二章 随机变量及其分布 上一章研究内容： 事件（集合A ）→ 概率（数）． 本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量． 事件（数）→ 概率（数）． §2.1 随机变量及其分布 2.1.1. 随机变量的概念 随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的： 如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格． 对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为 1，反面记为 0 ；检查产品，合格记为 1， 不合格记为 0 ． 随机试验中，可将每一个样本点ω 都对应于一个实数X (ω) ，称为随机变量（Random Variable ），常用 大写英文字母X , Y, Z 等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母 x , y , z ． 对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值： ⎧1, 正面 如掷硬币，X ⎨ ，X 的全部可能取值为0, 1 ； 0, 反面 ⎩ 掷两枚骰子，X 表示掷出的点数之和，X 的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ； 观察某商店一小时内的进店人数X ，X 的全部可能取值为0, 1, 2, … ； 电子元件使用寿命，用X 表示使用的小时数，X 的全部可能取值为 [0, +∞) ； 一场足球比赛（90 分钟），用X 表示首次进球时间（分钟），若为 0 :0，记X = 100 ， X 的全部可能取值为 (0, 90 ) ∪{100}； 注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数， 2 ．不同样本点可以对应于同一个实数， 3 ．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件． 应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法． 例 掷一枚骰子，用X 表示出现的点数， 则 X = 1 表示出现 1 点；X 4 表示点数大于 4 ，即出现 5 点或 6 点；X ≤ 0 为不可能事件． 又出现奇数点，即X = 1, 3, 5 ；点数不超过 3，即X ≤ 3 ． 例 X 表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数）， 则 X = 0 表示没有销售；X ≤ 10 表示销售不超过 10 件． 又销售 5 件以上（不含 5 件）即X 5 ； 若该商店准备了 a 件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X ≤a ． 例 X 表示一只电子元件的使用寿命（小时）， 则 X = 1000 表示该元件恰好使用了 1000 小时， X ≥ 800 表示该元件使用寿命在 800 小时以上． 例 90 分钟足球比赛，X 表示首次进球时间（分钟），且 0 :0 时，记X = 100 ， 则 X = 10 表示上半场第 10 分钟首次进球． 又上半场不进球即X 45 ；开场 1 分钟内进球即X ≤ 1 ． 如果随机变量 X 的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排 成一列，一个一个往下数，如非负整数 0, 1, 2, 3, … ） 离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数 轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X （小时），全部可能取值是[0, +∞) ． 下面按离散型和连续型分别进行讨论． 1 2.1.2. 离散随机变量的概率分布列 对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率． 定义 如果随机变量X 的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X 的全部可能取值为x , x , …, x , …，则X 取值 x 的概率p = p (x ) = P {X = x }, k = 1, 2, …… 称为离散 1 2 k