高考总复习数学17 第二章微专题嵌套函数的零点问题.pdf

第二章函数

微专题嵌套函数的零点问题

微专题嵌套函数的零点问题

函数的零点问题是高考命题的热点之一，常考查二次函数与复合函数相关

的零点问题，与函数的图象性交汇.对嵌套函数的零点，通常先“换元解

套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助

函数的图象、性质求解．

微专题嵌套函数的零点问题

类型一判断嵌套函数零点的个数

1

lnᵆ－－ᵆ0－

【例1】已知函数f(x)＝ᵆ则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是()

ᵆ2+2ᵆ－ᵆ≤0－

A．2B．3

C．4D．5

√

1

lnᵆ－+1－ᵆ0－

D解析：令t＝f(x)＋1＝ᵆ

ᵆ+12－ᵆ≤0.－－

1

①当t0时，f(t)＝lnt－，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，

ᵆ

1

由于f(1)＝－10，f(2)＝ln2－0，

2

由零点存在定理可知，存在t∈(1，2)，使得f(t)＝0；

11

22

②当t≤0时，f(t)＝t＋2t，由f(t)＝t＋2t＝0，解得t＝－2，t＝0.

23

作出函数t＝f(x)＋1，直t＝t，t＝－2，t＝0的图象如图所示．

1

由图象可知，直t＝t与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直t＝0与函数t＝

1

f(x)＋1的图象有两个交点；直t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交

点．综上所述，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.

微专题嵌套函数的零点问题

思维建模

解决嵌套函数零点个数的一般步骤

(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．

(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．

微专题嵌套函数的零点问题

类型二由嵌套函数零点的个数求参数问题

－ᵆ2+2ᵆ－ᵆ≥0－22

【例2】已知函数f(x)＝2若关于x的不等式[f(x)]＋af(x)－b0恰

ᵆ－2ᵆ－ᵆ0－

1个整数解，则实数a的最大值是()

A．2