2025版高考热点题型与考点专练数学热点9三角恒等变换与解三角形含答案.docx
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热点9三角恒等变换与解三角形
年份
2022
2023
2024
角度
题号
角度
题号
角度
题号
新高考Ⅰ卷
—
—
简单的三角恒等变换
8
简单的三角恒等变换
4
新高考Ⅱ卷
简单的三角恒等变换
6
简单的三角恒等变换
7
简单的三角恒等变换
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【考向一】简单的三角恒等变换
【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m①,tanαtanβ=2②,则cos(α-β)③=(A)
A.-3m B.-m3 C.m3 D.
【审题思维】
①
根据两角和的余弦公式将①式展开
②
将②式进行切化弦,结合①的展开式分别求得cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m
③
利用两角差的余弦公式将③式展开,进而得解
【题后反思】
三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数,有时,虽不能转化为特殊角,但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消等达到化简求值的目的.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:将其转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
【典例2】(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16①,则cos(2α+2β)②
A.79 B.19 C.-19 D
【审题思维】
①
根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)
②
利用二倍角的余弦公式计算即可
【题后反思】
1.恒等变换常用结论
(1)sin2α=1-cos2α2,cos2
(2)1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.
(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).
2.恒等变换中的“三变”
(1)变角:对角的拆分要尽可能化成同角、特殊角;
(2)变名:尽可能减少函数名称;
(3)变式:对式子的变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
3.常见的“变角”技巧
(1)单角变为和(差)角,如α=(α-β)+β,β=α+β2
(2)倍角变为和(差)角,如2α=(α+β)+(α-β)等.
【提醒】(1)根据某一三角函数值求角时应注意角的范围;
(2)已知θ的某个三角函数值,求θ2的相应三角函数值时,常借助于半角公式sin2θ2=1-cosθ2,cos2θ2=1+cosθ2,tan
【考向二】解三角形
【典例1】(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=π3,b2=94ac,则sinA+sinC=(
A.32 B.2 C.72 D
【审题思维】
由正弦定理将b2=94ac转化为sinAsinC=49sin2B=13→由余弦定理得b2=a2+
2ac·cosB→a2+c2=134ac→由正弦定理转化为sin2A+sin2C=134sinAsinC=
(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC→最后开平方求得结果.
【题后反思】
1.利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中,c2=a2+b2?C为直角;
c2a2+b2?C为钝角;
c2a2+b2?C为锐角.
2.判断角的范围常用到的结论
(1)a+bc,a+cb,b+ca(两边之和大于第三边);
(2)大边对大角;
(3)在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC.
3.解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及asinA=bsinB=csinC
(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.
(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.
(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理asinA=bsinB可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由asinA=csinC可求出c
【提醒】(1)边角互化易出错,如等式asinA-bsinB=csinC,有时将左边化为角,而未兼顾到右边.
(2)角的范围判断是难点,有时不能根据条件求出角的范围而致错.
【典例2】(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,
AD=2,CD=2BD①.当ACAB取得最小值②时,BD=?3-1
【审题思维】
①