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2025版高考热点题型与考点专练数学热点8三角函数的图象与性质含答案.docx

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热点8三角函数的图象与性质

年份

2022

2023

2024

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题号

新高考Ⅰ卷

三角函数的图象与性质

6

三角函数的图象与性质

15

三角函数的图象与性质

7

新高考Ⅱ卷

三角函数的图象与性质

9

三角函数的图象与性质

16

三角函数的图象与性质

9

【考向一】三角函数图象变换

【典例1】(2023·全国甲卷)已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数①,则y=f(x)与y=12x-12的交点个数

A.1 B.2 C.3 D.4

【审题思维】

①y=-sin2x→在同一坐标系内作出两个函数的图象②

【题后反思】

由y=sinx变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的方法

(1)先平移后伸缩

(2)先伸缩后平移

【提醒】

1.平移变换容易忽视x的系数;

2.先伸缩再平移,特别要注意平移的量是|φ|ω(

【典例2】(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C①,若C关于y轴对称②,则ω的最小值是(

A.16 B.14 C.13

【审题思维】

由函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω0)左移π2个单位得到曲线C:y=sin(ωx+ωπ

通过C关于y轴对称可知y=sin(ωx+ωπ2+π3

【题后反思】

1.求三角函数对称轴方程(对称中心坐标)的方法

(1)求y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴方程,只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z);求对称中心横坐标只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求

(2)求y=Acos(ωx+φ)图象的对称轴方程,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z);求对称中心横坐标只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z),求

(3)求y=Atan(ωx+φ)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ2(k∈Z

2.三角函数奇偶性的判断及应用

三角函数奇偶性的判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质y=

Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+π2(k∈Z)

【考向二】三角函数的图象与性质

【典例1】(多选题)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-π4),下列正确的有(BC

A.f(x)与g(x)有相同零点

B.f(x)与g(x)有相同最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期

D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

【审题思维】

A选项,方法一:分别求出两个函数的零点,对照比较即可;方法二:特值验证.

BCD选项,分别求出两个函数的最大值、最小正周期及其对称轴方程,然后逐项判断即可.

【题后反思】

1.关于三角函数周期的几个重要结论

(1)函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的周期均为2π|ω|;y=Atan(ωx+φ

(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的周期均为π|

2.求三角函数y=Asin(ωx+φ)(ω0)的单调区间的方法

(1)函数的单调递增区间由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈

(2)函数的单调递减区间由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z

3.求三角函数值域(最值)的方法

(1)有界性:利用sinx,cosx的有界性;

(2)用性质:形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数值域;

(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

【提醒】

(1)求最小正周期时,带绝对值的函数容易用错公式;

(2)求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要遵循复合函数“同增异减”的原则,最好把x的系数化为正值,然后利用整体代换,求出相应的变量x的范围,否则容易产生错解.

【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线f(x)的两个交点,若|AB|=π6①,则f(π)=-

【审题思维】

设A(x,12),B(x2,12),由x2-x1=π6,结合sinx=12的解可得,ω(x2-x1)=

根据f(23π)=0以及f(0)0,即可得f(x

【题后反思】

确定函数y=Asin(ωx+φ)+b(A0,ω0)的解析式的步骤和方法

(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b

(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=2πT

(3)求φ:常用的方法有:

①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与

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