《有限差分方法导论》课件.ppt

有限差分方法导论数值分析与计算方法的重要工具

目录基本概念差分基础离散化原理理论基础稳定性分析收敛性判据主要类型与应用格式分类工程实例

有限差分法的历史渊源118世纪欧拉、拉格朗日奠基219世纪差分概念形成320世纪初计算力学应用兴起

什么是有限差分方法？数值求解方法将微分方程转换为代数方程组离散化技术用差商代替微商工程应用广泛热传导、流体动力学、电磁场

有限差分的基本思想连续问题微分方程描述离散化处理网格划分与差分替代代数方程求解离散系统

微分与差分的关系导数定义连续函数变化率1泰勒展开函数局部近似2差分近似离散点函数变化3误差控制截断项分析4

前向差分格式介绍定义f(x)≈[f(x+h)-f(x)]/h向前取点近似导数特点一阶精度计算简便显式格式应用场景初值问题显式时间推进

后向差分格式介绍定义式f(x)≈[f(x)-f(x-h)]/h向后取点近似导数特性一阶精度隐式计算稳定性好适用情况隐式方案刚性问题

中心差分格式介绍公式表达f(x)≈[f(x+h)-f(x-h)]/(2h)精度优势二阶精度对称性左右点贡献相等

步长与网格精度要求更小步长，更高精度计算成本步长减半，计算量增加权衡策略精度与效率的平衡

一阶导数的差分近似差分类型公式精度前向差分[f(x+h)-f(x)]/hO(h)后向差分[f(x)-f(x-h)]/hO(h)中心差分[f(x+h)-f(x-h)]/(2h)O(h2)

二阶导数的差分近似中心差分形式f(x)≈[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h2五点模板二维情况下的差分格式精度分析二阶精度，泰勒展开证明

偏微分方程的差分处理网格划分空间与时间离散化导数替换用差分近似替代偏导数方程建立形成代数方程组

一维热传导方程的差分方程离散化?u/?t=α?2u/?x2时间离散前向差分处理时间导数空间离散中心差分处理空间二阶导

扩散方程初边值问题方程表达?u/?t=D?2u/?x2初始条件u(x,0)=f(x)边界条件狄利克雷或诺伊曼边界差分格式显式或隐式格式选择

有限差分法的基本步骤计算区域离散化生成网格点2微分算子离散化导数替换为差分形式代数方程组求解直接法或迭代法求解

稳定性与收敛性基础截断误差差分近似忽略高阶项稳定性误差不随计算增长收敛性数值解逼近真解相容性差分方程逼近微分方程

误差分析举例截断误差来源泰勒展开高阶项舍入误差累积误差阶数前向/后向：O(h)中心差分：O(h2)影响因素网格尺寸差分格式选择问题特性

明确差分格式基本形式未知量仅依赖已知值优点计算简单直接无需解方程组缺点稳定性条件苛刻时间步长受限

隐式差分格式基本特征未知量相互耦合稳定性优势无条件稳定性计算复杂性需解线性方程组

Crank-Nicolson格式混合格式显隐式结合精度特点二阶时间精度稳定性无条件稳定

格式稳定性解析冯·诺依曼分析法误差傅立叶分解放大因子计算|G|≤1保证稳定CFL条件显式格式时间步长限制

稳定性实例演示步长比值放大因子

网格与时间步长的选择最优选择精度与效率平衡计算效率粗网格快速计算解的精度细网格高精度4数值稳定性满足稳定条件

边界条件的差分处理狄利克雷条件u|边界=g(x)直接赋值边界点诺伊曼条件?u/?n|边界=h(x)引入虚拟点差分近似混合边界a·u+b·?u/?n=c组合处理方法

初始条件在差分法实现函数赋值u(x,0)=f(x)离散点处理网格点直接计算高阶起步多级初值提高精度

非均匀网格的有限差分

二维问题有限差分网格构建二维矩形网格点分布五点模板中心点与四邻点关系九点模板高精度差分格式

偏微分方程系统的差分系统描述多变量耦合方程组1耦合处理分量交替更新2交错网格变量定义在不同位置3求解策略分裂算法与整体求解4

习题：一维泊松方程差分求解问题描述-u(x)=f(x)u(0)=u(1)=0差分离散化-(u_{i+1}-2u_i+u_{i-1})/h2=f_i算法实现三对角矩阵求解追赶法高效计算

一维波动方程的差分离散显式格式计算简单有条件稳定隐式格式无条件稳定求解复杂

非线性方程的差分实现线性化处理牛顿或皮卡德迭代迭代求解逐步逼近真解收敛判定残差控制策略

常用差分格式总结格式类型稳定性精度计算复杂度显式向前有条件稳定一阶低隐式向后无条件稳定一阶中Crank-Nicolson无条件稳定二阶高

高阶差分公式1基础差分一至二阶精度四阶差分更多点参与计算六阶及以上复杂模板高精度

数值实例：二维热传导模拟

编程实现要点内存管理避免冗余存储矢量化运算避免循环提高效率稀疏矩阵利用特殊结构存储并行计算多核处理加速

程序边界处理技巧虚拟节点法延伸计算域保持差分格式一致性单侧差分边界点特殊处理维持近似精度镜像反射对称边界条件处理隐含诺伊曼条件

并行计算与有