廖敦明《有限差分法基础》第3章有限差分方法基础.ppt

*在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图1-1中的、，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。Ox

图1-1非均匀步长差分3．非均匀步长一阶向后差商 一阶中心差商 （1-22）（1-23）*第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。（2-1）*图2-1差分网格第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）*若时间导数用一阶向前差商近似代替，即空间导数用一阶中心差商近似代替，即则在点的对流方程就可近似地写作（2-2）（2-3）（2-4）第二节差分方程、截断误差和相容性/差分方程（3/3）*用空间中心差商代替空间导数时的逼近误差为添加标题第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）添加标题按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的逼近误差为,添加标题，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是添加标题这也可由Taylor展开得到。因为添加标题（2-5）添加标题（2-6）*（2-6）* 第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（2/6）一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为 这里为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件： 初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。（2-7）（2-8）*第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（3/6）FTCS格式（2-9）FTFS格式（2-10）（2-11）FTBS格式*第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（5/6）FTCS(b)FTFS(c)FTBS图2-2差分格式*第二节差分方程、截断误差和相容性/截断误差（6/6）FTCS格式的截断误差为FTFS和FTBS格式的截断误差为（2-12）（2-13）3种格式对都有一阶精度。* 第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）一般说来，若微分方程为 其中D是微分算子，f是已知函数，而对应的差分方程为其中是差分算子，则截断误差为这里为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解。（2-14） （2-15）（2-16）如果当、时，差分方程的截断误差的某种范数也趋近于零，即则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当、时，截断误差的范数不趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。（2-17）*第二节差分方程、截断误差和相容性/相容性（2/3）若微分问题的定解条件为 其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为其中是差分算子，则截断误差为（2-18）（2-19）（2-20）所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。*一阶差分：（图示）向前差分 （1-2）向后差分（1-3）中心差分（1-4）〉0*二阶差分：以向前差分为例，有上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的称为二阶差分，记为。（1-5）*二阶差分向前差分？二阶差分向后差分？二阶中心差分？课堂作业：1、请写出一阶差分格式请分别写出二阶向前、向后、中心差分格式：*CBA二阶差分向后差分二阶中心差分二阶差分向前差分*添加标题依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n阶向前差分为：添加标题（1-6）*（1-8）（1-7）一阶向后差商为：差商：函数的差