第三章有限差分方法.PDF

第三章 有限差分方法 §3.1 线性微分方程 第三章 有限差分方法 求解常微分方程和偏微分方程是物理学中最常见的问题，而用数值计算方法 求方程的解已经是一个发展得相当成熟的领域，这样的方法主要有有限差分和有 限元方法。除了物理学的问题以外，数值方法在工程和气象等众多研究领域中也 得到广泛应用，由于数值求解微分方程的课题众多，本章中只能涉及针对物理学 中一些重要内容所采用的主要普适的方法。对一些标准的微分方程形式，人们已 经开发了相应的程序库和软件包。 §3.1 线性微分方程 3.1.1 微分方程的分类 3.1.1.1 偏微分方程的类型 微分方程是表达物理量、它对其变量的导数以及变量之间的一个关系。只有 一个变量的情形是常微分方程，多个变量下是偏微分方程。如有两个独立变量时， 二阶偏微分方程的一般形式是， ?????222φφφφφ ab++++++= cdefgφ 0 ， (3.1.1.1-1) ??????xxyyxy22 其中的系数 abcde,,,,, f , g可以是独立变量 x 和 y 的函数。如果bac2 4 ，称为椭 圆形偏微分方程，bac2 = 4 是抛物线型，bac2 4 双曲线型。例如，波动方程 ??22φφ1 ?=0 ， (3.1.1.1-2) ??x222vt 是双曲线型，而二维的Poisson方程， ??22φφ +=?ρ ()x, y ， (3.1.1.1-3) ??xy22 是椭圆形。抛物线型方程的例子是扩散方程， ???φφ?? =+??DSxt(), 。 (3.1.1.1-4) ??tx?? ? x 在数值计算中，方程类型之间的差别不是那么重要。 在（3.1.1.1-1）式中，我们假定了系数 abcde,,,,, f , g不包含φ 及其高阶导数 （否则方程就不是二阶的），这是线性的偏微分方程，否则就是非线性的偏微分 方程。在很大的程度上，方程的数值解法要视方程的阶数和是否线性而定。 3.1.1.2 初始值和边界值 微分方程还可以用初始值问题和边界值问题进行分类，对于数值计算来说， 这两类之间的差别最为重要。这是因为，初始值问题中，我们是在起始端给定函 数值，然后计算在后续各点的函数值。而在边界值问题中，我们是给函数加了限 3－1 第三章 有限差分方法 §3.1 线性微分方程 制条件，要求它在始端和终端必须是一定的值。这些问题中，物理学中的时间变 量和空间变量是等同看待的，它们的不同是物理含义不同，但用数学的数值方法 处理它们时，它们的地位是等价的，因此，初始值问题不一定就必定是含时的， 而边界值就是指空间问题。我们之所以考虑初始值问题和边界值问题的差异，主 要是它们对解所加的限制条件的区别。某些偏微分方程是混合型的，即对某个变 量是初始值型的，而对另外的变量则是边界值型的。 例如，对于谐振子的运动， d 2φ +=ωφ2 0 。 (3.1.1.2-1) dt 2 这里只有一个变量，是时间 t ，我们要找在时间段[tt0 , N ] 的解。因为它是一个二 阶微分方程，需要给定两个初始条件以确定解中的常数。如果指定tt= 0 时的φ 和 一阶导数φ 的话，这就是初始值问题。如果给出的两个条件是tt= 0 和tt= N