高中数学专题：空间几何体内切球解析版.docx

高中数学专题：空间几何体内切球解析版

一、空间几何内切球

1.例题

【例1】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

【答案】，．

【解析】如图，球O是正三棱锥P-ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径RPH是正三棱锥的高,即PH=1．E是BC边中点,H在AE上,△ABC

HE=36×26

S△ABC=342

∴得：，

∴．∴．

【例2】若三棱锥中，，其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为．

【答案】

【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等，且每一个面的面积均为．

设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，

取的中点，连接，，则平面，

，，

，

，解得．

内切球的表面积为．故答案为：．

2.巩固提升综合练习

【练习1】一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为

A． B． C． D．

【解析】由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分，如图：正方体的棱长为2，

内切球的半径为，可得：，解得，

几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：．

故选：．

【练习2】球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是

A． B． C． D．

【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，

，．此圆柱的全面积与球表面积之比是：

．故选：．

二、课后自我检测

1．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.

2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：

还原长方体的长是2，宽为1，高为

设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点，

所以外接球的半径

所以外接球的体积故选A

3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．6π B．6π C．9

【答案】B

【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD．底面

其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．则该阳马的外接球的直径为PB=

∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(6

4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ΔADE，ΔBEF，ΔCDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点

A．5π B．6π C．8π D．11π

【答案】B

【解析】由题意可知△AEF是等腰直角三角形，且A

三棱锥的底面A

然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，

正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1+1+4=

∴球的半径为62，∴球的表面积为4π·(

5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是：（）

A．8π B．123π C．12π

【答案】C

【解析】由三视图还原几何体如图，

可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．

把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为22

∴该三棱柱外接球的半径为：3．则球O的表面积是：4π×(3

6．已知三棱锥O-ABC的底面ΔABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O-

A．32π3 B．64π3 C．128π

【答案】D

【解析】由O为球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心，

AB＝6，BC=23，AC=43，可得△ABC为

O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得13?OM?12AB?BC=16OM?123=

R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的体积为43πR3=43π?64=

7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【