高中数学专题：空间几何体外接球解析版.docx
高中数学专题：空间几何体外接球解析版
一、求外接球半径常用方法
【一】高过外心
空间几何体（以
空间几何体（以为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：
先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;
把垂直上移到点，使得点到顶点的距离等于到的距离相等，此时点是几何体外接球球心；
连接，那么, 由勾股定理得：.
1.例题
【例1】已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，
∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，
则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，
OP，∴O是球心，球O的半径r，
∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．
2.巩固提升综合练习
【练习1】在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由余弦定理可求得，
再由正弦定理可求得的外接圆的半径，
因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，
设其外接球的半径为，则有，解得，
所以其表面积为，故选B.
【二】高不过外心
高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：
高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：
题设：已知四棱锥，
（1）先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;
（2）把垂直上移到点，使得，此时点是几何体外接球球心；
（3）连接，那么, 由勾股定理得：.
1.例题
【例1】（1）长方体ABCD-A1B1C1D
（2）已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（）
A. B. C. D.
（3）已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】（1）8π（2）D（3）A
【解析】（1）因为长方体ABCD-
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为R，因为AB=2，AD=3，A
所以4R2=22
（2）正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为
外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示
在三角形中，
解得故棱柱的体积为：故答案为：D.
（3）取中点，连接
且四边形为平行四边形
，又
为四边形的外接圆圆心
设为外接球的球心，由球的性质可知平面
作，垂足为四边形为矩形，
设，
则，解得：
球的体积：本题正确选项：
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，
所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，
，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。
【练习2】四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,
OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，
可得，可得，解得PA=1,故选C.
【练习3】四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的表面积等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
由已知可得，底面四边形为等腰梯形，
设底面外接圆的圆心为，连接，则，
，又，设四棱锥外接球的球心为，
则，即四棱锥外接球的半径为．
此球的表面积等于．故选：C．
二、常见空间几何体外接球
【一】长（正）方体外接球
1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；
1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；
2、正方体的外接球半径：（为正方体棱长）；
3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径：
1.例题
【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为________
【解析】长方体外接球半径：，所以外接球面积：
【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______
【解析】设正方体棱长为，则，∴.
设球的半径为，则由题意知.故球的体积.
2.巩固提升综合练习
【练习1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.
【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：
其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径