《高等数学(上册)》教案—第三章第12课：函数的单调性与凹凸性.doc

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课题

函数的单调性与凹凸性

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握函数单调性的判断

（2）掌握曲线凹凸性、凹凸区间和拐点的判定。

思政育人目标：

通过观察图形得出函数单调性和凹凸性的判定定理，使学生养成通过仔细观察、总结规律、得出结论来解决问题的习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。

学重难点

教学重点：函数单调性定理，凹凸性和拐点的定义

教学难点：函数单调性的判断

教学方法

讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学设计

第1节课：考勤（2min）→知识讲解（33min）→课堂测验（10min）

第2节课：知识讲解（20min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10min）→课堂小结（5min）

教学过程

主要教学内容及步骤

设计意图

第一节课

考勤

（2min）

【教师】清点上课人数，记录好考勤

【学生】班干部报请假人员及原因

培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况

知识讲解

（33min）

【教师】讲解函数单调性的判别法，并通过例题介绍其应用

如果函数在上单调增加或单调减少，那么它的图形是沿着x轴正向上升或下降的曲线．这时曲线上各点的切线斜率是非负的或非正的，即，如图3-4（a）所示，或，如图3-4（b）所示．由此可见，函数的单调性与导数的符号有密切的联系．

（a）（b）

图3-4

定理1设函数在上连续，在内可导，则下列结论成立：

（1）若在内，则在上单调递增；

（2）若在内，则在上单调递减．

例1判定函数在的单调性．

解因为在上，，所以在上是单调递增的．函数的图像如图3-5所示．

例2讨论函数的单调性．

解函数定义域为．当时，；当时，函数导数不存在．由于在内，在内，所以在内是单调递减的，在上是单调递增的．函数的图像如图3-6所示．

图3-5

图3-6

由例1、例2可以看出，函数单调区间发生改变的分界点一般为导数为0的点或导数不存在的点．因此，讨论函数的单调性，只要求出函数导数为0的点和导数不存在的点，利用这些点把函数的定义域分成几个区间，就可在每个区间上判断函数的单调性．

例3确定函数的单调区间．

解函数定义域为，

．

令，有，得或．，把函数定义域分成三个区间，，，且在区间内，在区间内，在区间内．

因此，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．函数的图像如图3-7所示．

图3-7

例4确定函数的单调区间．

解函数的定义域为．由于

，

所以时，函数的导数为0；时，函数导数不存在．函数导数为0点与导数不存在的点将函数的定义域分成三个区间，，，且当时，；当时，；当时，．因此，在上单调减少，在上单调减少，在上单调递增．函数的图像如图3-8所示．

图3-8

结论一般地，如果函数在某区间的有限个点导数为0或导数不存在，在其余点的导数均为正（或负），则在该区间上仍是单调递增（或递减）的．

利用函数的单调性，还可证明一些不等式．

例5证明不等式．

证明设，则在上连续且可导，

，

因此在单调递增，故

，即，所以

．

【学生】掌握函数单调性的判别法

学习函数单调性的判别法。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化

课堂测验

（10min）

【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况

【学生】做测试题目

【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程

【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧

通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象

第二节课

知识讲解

（20min）

【教师】讲解函数的凹凸性与拐点，并通过例题讲解介绍其应用

函数的单调性反映了函数曲线在区间上的递增或递减情况，但它不能反映函数曲线在这一区间上的弯曲方向．如图3-9所示，函数曲线，在上都是递增的，但弯曲方向不同，曲线是“上凸”的，曲线是“下凹”的，下面给出描述曲线弯曲方向的曲线凹凸性定义．

图3-9

定义1设函数在区间上连续，若对，恒有，那么称在区间上的图形是凹的；若恒有，那么称在区间上图形是凸的．

定义1的实际意义是：在区间上函数曲线任意两点间的部分，若位于这两点连线下方，则曲线是凹的；若位于这两点连线上方，则曲线是凸的．

关于函数曲线的凹凸性，有如下判定定理：

定理2设函数在上连续，在内具有二阶导数，若在内，则在上的图形是凹的；若在内，则在上的图形是凸的．

证明若在区间内，我们证函数曲线在上的凹性．对，不妨设，要证，只要证

．

事实上，由于

在区间和上应用微分中值定理，，，使得

，

，

所以

将在