差分方程稳定性.ppt

关于差分方程稳定性第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日

1.差分方程模型对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(1-1)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(1-1)的解,包含个任意常数的解称为(1-1)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(1-1)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1-1)的特解.若x0,x1,…,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日

若有常数a是差分方程(1-1)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(1-1)的平衡点.又对差分方程(1-1)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a≠-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日

二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程?2+a?+b=0的两个根分别为?=?1,?=?2.第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日

①当?1,?2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(?1)n+C2(?2)n;②当?1,2=?是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)?n;③当?1,2=?(cos?+isin?)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+?n(C1cosn?+C2sinn?).易知,当且仅当特征方程的任一特征根|?i|＜1时,平衡点x*是稳定的.则第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日

对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是不稳定的.当时,x*是稳定的；当第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日

2.建模实例：差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t??,x?N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性，即k??,yk?N？y*=N是平衡点第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日

(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点x*是(2)和(1)的稳定平衡点x*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识(刚学过的):一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日

01的平衡点及其稳定性平衡点稳定性x*稳定x*不稳定另一平衡点为x=0不稳定第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日

01/2101的平衡点及其稳定性第11页，共15页，星期日，2025年，2月5日

初值x0=0.2数值计算结果b3,x?b=3.3,x?两个极限点b=3.45,x?4个极限点b=3.55,x?8个极限点04118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.411891??0.379630.336