高三数学复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示文.pptx

文数

课标版

第二节平面向量基本定理及坐标表示

1/23

1.平面向量基本定理

假如e1、e2是同一平面内两个①不共线

向量,那么对于这一平面

内任一向量a,②有且只有

一对实数λ1、λ2,使a=③

λ1e1+λ2e2

.

其中,不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内全部向量一组

④基底

.

2/23

2.平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量模

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=⑤(x1+x2,y1+y2)

,a-b=⑥(x1-x2,y1-y2)

,λa

=⑦(λx1,λy1)

,|a|=⑧

.

(2)向量坐标求法

(i)若向量起点是坐标原点,则终点坐标即为向量坐标.

(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =⑨(x2-x1,y2-y1)

,| |=⑩

.

3.平面向量共线坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔ 

x1y2-x2y1=0

.

3/23

4/23

1.假如e1,e2是平面α内一组不共线向量,那么以下四组向量中,不能作

为平面内全部向量一组基底是 ()

5/23

2.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c= ,则c可用向量a,b表示为 ()

A. a+bB.- a-b

C. a+ bD. a- b

答案

A设c=xa+yb,则 =(2x-y,x+2y),

所以 解得 则c= a+b.

6/23

3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,则点N坐标为 ()

A.(2,0)

B.(-3,6)

C.(6,2)

D.(-2,0)

答案

A

 =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),

设N(x,y),则 =(x-5,y+6)=(-3,6),

所以 即 故点N坐标为(2,0).

7/23

4.已知a=(4,5),b=(8,y),且a∥b,则y等于 ()

A.5

B.10

C. 

D.15

答案

B∵a∥b,∴4y=5×8,即y=10.

5.在平面直角坐标系中,已知 =(-1,3), =(2,-1),则| |=

.

答案5

解析

 = - =(2,-1)-(-1,3)=(3,-4),∴| |=5.

8/23

6.已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k,10),且A、B、C三点共线,则k=

.

答案- 

解析

 = - =(4-k,-7), = - =(-2k,-2),因为A、B、C三点共

线,即 与 共线,所以 = (k≠0),解得k=- .

9/23

考点一平面向量基本定理及其应用

典例1(1)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB.若 =a, =b,|a|=1,

|b|=2,则 = ()

A. a+ bB. a+ bC. a+ bD. a+ b

(2)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC中点,有 =λ +

μ ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=

.

答案(1)B(2) 

解析(1)由题意得| |=2| |,即有 =  = ( - )= (a-b).从而

 = + =b+ (a-b)= a+ b.故选B.

(2)如图.

10/23

∵四边形ABCD为平行四边形,且E、F分别为CD、BC中点,

∴ = + =( - )+( - )

=( + )- ( + )=( + )-  ,

∴ = ( + ),∴λ=μ= ,∴λ+μ= .

11/23

方法指导

用平面向量基本定理处理问题普通思绪

(1)先选择一组基底,并利用平面向量基本定理将条件和结论表示成该

组基底线性组合,再进行向量运算.

(2)在基底未给出情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要

熟练利用线段中点向量表示式.

注意:零向量和共线向量不能作基底.

12/23

1-1如图,在△OAB中,P为线段AB上一点, =x +y ,且 =2 ,

则 ()

A.x= ,y= 

B.x= ,y= 

C.x= ,y= 

D.x= ,y= 

答案

A由题意知 = + ,又 =2 ,所以 = +  = + 

( - )=  +  ,所以x= ,y= .

13/23

1-2

(山东临沂期中)在△ABC中,若点E满足 =3 , =λ1 +λ2

 ,则λ1+λ2=

.

答案1

解析∵ =3 ,∴ =  = ( - ),

∴ = + = - ( - )

=  +  ,

故λ1+λ2=1.

14/23

考点二平面向量坐标运算