大学课件高等数学下册第7章_多元函数微分学.pptx

多元函数微分学汇报人:

目录01多元函数微分学基础02多元函数的偏导数多元函数的全微分03多元函数微分学的应用04

多元函数微分学基础PartOne

多元函数的定义多元函数的定义域是其所有自变量取值的集合，例如二元函数f(x,y)的定义域可能是平面上的一个区域。函数的定义域多元函数的值域是函数在定义域内所有可能输出值的集合，反映了函数输出的变化范围。函数的值域多元函数具有两个或两个以上的自变量，如f(x,y,z)，每个自变量可以独立变化。函数的自变量多元函数的因变量是依赖于自变量的值，例如f(x,y)中f是因变量，x和y是自变量。函数的因变量

多元函数的极限与连续性考虑函数f(x,y)在点(a,b)的极限，需满足对任意ε0，存在δ0，使得当0|(x,y)-(a,b)|δ时，|f(x,y)-L|ε。多元函数极限的定义若多元函数f(x,y)在点(a,b)的极限值等于f(a,b)，则称f在该点连续。多元函数连续性的判定

多元函数的可微性可微性的定义可微性的几何意义偏导数与可微性可微与连续的关系多元函数在某点可微是指它在该点附近的行为近似于线性映射。若多元函数在某点可微，则它在该点必定连续，但连续不一定可微。多元函数在某点可微，意味着它在该点的所有偏导数存在且连续。可微性表明多元函数在某点的局部可以用切平面来近似描述。

多元函数的偏导数与全微分偏导数的定义与几何意义偏导数表示多元函数沿某一变量方向的变化率，如z=f(x,y)在x方向的偏导数。全微分的计算与应用全微分描述了多元函数在某点附近变化的线性主部，是偏导数的综合体现。

多元函数的偏导数PartTwo

偏导数的概念偏导数描述了多元函数沿某一变量方向的变化率，是微分学中的基础概念。偏导数的定义在物理学中，偏导数可以表示物理量（如温度、速度）沿特定方向的变化率。偏导数的物理意义在三维空间中，偏导数对应于曲面在某一坐标轴方向的切线斜率。偏导数的几何意义

高阶偏导数若函数在某区域内连续且混合偏导数存在，则混合偏导数在该区域内连续。混合偏导数的连续性在物理学中，高阶偏导数可以描述物理量随时间和空间变化的复杂性。高阶偏导数的物理意义计算高阶偏导数时，可以先对一个变量求偏导，再对另一个变量求偏导。高阶偏导数的计算在工程和科学领域，高阶偏导数用于解决多变量函数的极值问题和波动方程。高阶偏导数的应偏导数的几何意义偏导数描述了多元函数在某一点处沿坐标轴方向的切线斜率，即切平面的斜率。切平面与切线01偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例，反映了函数在特定方向上的变化率。方向导数的起点02通过偏导数可以了解多元函数在某一点附近图像的局部变化趋势，是理解函数图形的重要工具。函数图像的局部变化03

偏导数的计算方法对于多元函数f(x,y)，固定y求x的偏导数，反之亦然，例如对f(x,y)=x^2+xy求?f/?x。直接求导法01当多元函数由复合函数构成时，使用链式法则求偏导数，如对复合函数f(g(x,y),h(x,y))求偏导。链式法则02

偏导数的计算方法对于由隐式方程定义的多元函数，如x^2+y^2=r^2，使用隐函数求导法求解偏导数。隐函数求导法01、当多元函数以参数方程形式给出时，如x=t^2,y=t^3，通过参数t求x和y的偏导数。参数方程求导法02、

多元函数的全微分PartThree

全微分的定义全微分是多元函数在某点的线性近似，表示为函数在该点的偏导数与自变量增量的乘积之和。全微分的线性近似01全微分的表达式中包含了所有偏导数，体现了多元函数在某点的局部变化率。全微分与偏导数的关系02若多元函数在某点的偏导数连续，则该点存在全微分，这是全微分存在的必要条件。全微分存在的条件03

全微分的性质线性性质全微分满足线性性质，即两个函数的和的全微分等于各自全微分的和。乘积法则若两个函数可微，则它们乘积的全微分遵循乘积法则，即d(uv)=udv+vdu。链式法则对于复合函数，全微分遵循链式法则，即若有z=f(x,y)，x=g(t)，y=h(t)，则dz=?z/?xdx+?z/?ydy。可加性全微分具有可加性，即若函数在某点连续可微，则其全微分在该点的值是唯一的。

全微分的应用全微分在物理学中用于描述系统状态的微小变化，如热力学中的温度和压力变化。物理中的应用在经济学中，全微分用于分析成本、收益等经济变量的边际变化，指导决策。经济学中的应用

全微分与偏导数的关系01全微分的定义全微分是多元函数在某一点的线性主部增量，与偏导数紧密相关。02偏导数的几何意义偏导数表示多元函数沿坐标轴方向的变化率，是全微分的组成部分。03全微分的计算方法通过求偏导数并结合函数在某点的值，可以计算出多元函数在该点的全微分。

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