《高等数学教学讲义》ch多元函数微分学.ppt
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二、多元复合函数的全微分
第五节、隐函数存在定理及隐函数的微分法 一、由一个方程所确定的隐函数
二、由方程组所确定的隐函数组
附录：空间曲面与空间曲线 一、空间曲面及其方程的概念
二、柱面
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11.5多元函数微分学在几何学上的应用-教学课件（非AI生成）.ppt
11.5多元函数微分学在几何学上的应用11.5.1空间曲线的切线与法平面11.5.2空间曲面的切平面与法线*(1)式中的三个函数均可导.11.5.1空间曲线的切线与法平面1.曲线的参数方程*考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为*曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.*解:切线方程法平面方程例1.*空间曲线方程为法平面方程为特殊地：（以x为参数）*空间曲线方程为法平面方程为同样地：（以y为参数）*空间曲线方程为法平面方程为同样地：（以z为参数）*例2.*2.空间曲线的一般方程切线方程为法平面方程为*例3.*所求切线
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11-4 隐函数微分法-教学课件（非AI生成）.ppt
§11.4隐函数微分法一.一个方程的情形1
或利用微分形式不变性2
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利用微分形式不变性5
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解:二元线性代数方程组解的公式10
二.方程组的情形11
即12
由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.13
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分析：17
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（利用微分形式的不变性）21
小结一、求隐函数的偏导数有三种方法：直接法；公式法；微分形式的不变性。二、求方程组所确定的隐函数的偏导数时，主要采用直接法，必要时也可采用全微分形式的不变性全微分形式不变性的优点是：无需判别变量的类型（自变量，因变量）在微分符号d的作用下，所有变量的地位都是平等的。
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11-1 多元函数-教学课件（非AI生成）.ppt
闭区域上连续函数的性质**思考题*思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取*第十一章多元函数微分学多元函数的基本概念偏导数复合函数微分法隐函数微分法多元函数在几何上的应用多元函数的极值*一、多元函数的定义11.1多元函数的基本概念x,y——自变量；z——因变量；D——定义域.*例1求的定义域．解所求定义域为函数的定义域：点函数形式：**二、平面点集的有关概念*（2）区域例如，即为开集．**连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，*有界闭区域；无界开区域．例如，*（3）n维空间?n维空间的记号为说明：?n维空间中两点间距离公式设两点为*三、二元函数的图形（如下页图）*二元函数的图形通常是一张曲
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11.1多元函数-教学课件（非AI生成）.ppt
解：其中，例3求极限*证明：取其值随k的不同而变化，故极限不存在．例4证明不存在．*确定极限不存在的方法：*利用点函数的形式定义n元函数的极限*11.1.5多元函数的连续性*在(0,0)处的连续性．解：取当时故函数在(0,0)处连续.例5讨论函数*在(0,0)的连续性．解：取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例6讨论函数*在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理闭区域上连续函数的性质*一切
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高等数学B下ch67多元函数微分学几何应用.ppt
称为函数 f 的等量线(等高线) . 2. 梯度的几何意义 图示 L*上点P 处的一个法向量. 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 为在点P处的一个法向量. 结论:函数在一点的梯度垂直于通过该点的等量面 (或等量线) , 指向函数增大的方向. (见书P103) (如:书习题P104 6) 指向函数增大的方向 (内法线方向 指 曲线 (等高线) 在M处 指向内侧的法线方向) (如:作业P23 二 1) (内法线方向 指 曲线 (等高线) 在M处 指向内侧的法线方向) 注: 二元函数在一点
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高等数学多元函数微分学习题集锦.pdf
第七章 多元函数微分法及其应用
习题课
一、主要内容
二、典型例题
三、作业
一、主要内容
平面点集
平面点集 多元函数概念
多元函数概念
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《高等数学》下册教案 多元函数微分学.doc
第八章 多元函数微分学
§1、多元函数的基本概念
多元函数的基本概念的介绍，以二元函数为主。
一．二元函数的概念
1．区域（平面区域）
⑴邻域：圆形邻域：
矩形邻域：
⑵区域：
内点 开集 开区域
边界点 闭集 闭区域
连通性
⑶有界区域：对于平面区域，存在一个以为半径的圆完全包含了区域，则称平面区域为有界区域。
2．二元函数的定义
定义、设有变量，平面点集；当时，按照一定的法则，总有唯一确定的 值与之对应，称为变量的函数，即二元函数，记作：，；称为函数的自变量，
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高等数学-7.5 多元函数微分学的几何应.ppt
二、方程组的情形一、一个方程的情形7.5隐函数的求导公式
一、一个方程的情形隐函数的求导公式
解令则
解令则
解令则
二、方程组的情形
解1直接应用隐函数求导公式；解2运用公式推导的方法.将所给方程的两边对求导并移项
将所给方程的两边对求导，用同样方法得
（分以下几种情况）隐函数的求导法则三、小结
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大学课件高等数学下册第7章_多元函数微分学.pptx
多元函数微分学汇报人:
目录01多元函数微分学基础02多元函数的偏导数多元函数的全微分03多元函数微分学的应用04
多元函数微分学基础PartOne
多元函数的定义多元函数的定义域是其所有自变量取值的集合，例如二元函数f(x,y)的定义域可能是平面上的一个区域。函数的定义域多元函数的值域是函数在定义域内所有可能输出值的集合，反映了函数输出的变化范围。函数的值域多元函数具有两个或两个以上的自变量，如f(x,y,z)，每个自变量可以独立变化。函数的自变量多元函数的因变量是依赖于自变量的值，例如f(x,y)中f是因变量，x和y是自变量。函数的因变量
多元函数的极限与连续性考虑函数f(x,y)在点(a
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高等数学习题详解第章 多元函数微分学.doc
习题7-1
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：
A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).
解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。
2. 已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.
解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则
(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).
(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).
同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1， 2
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《高等数学多元函数微分学》课件.ppt
极值的充分条件海森矩阵海森矩阵是由多元函数的二阶偏导数构成的矩阵。判别根据海森矩阵的特征值判断函数在驻点处的极值类型。重要多元函数的极值特点椭球面椭球面有两个极值点，分别为最大值和最小值。双曲抛物面双曲抛物面有一个鞍点。多元函数应用案例11问题某公司生产两种产品，已知其利润函数和生产成本函数，求解利润最大化的生产方案。2方法使用拉格朗日乘数法求解条件极值问题。多元函数应用案例2问题设计一个圆柱形容器，使其容积最大，且表面积最小。方法利用多元函数的极值求解方法，确定最优的圆柱形容器的尺寸。多元函数应用案例3问题研究一个物理系统的能量函数，求解能量最小化的状态。方法使用梯度向量和方向导数分析能量函
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第九章多元函数微分学法及;横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系;Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个;空间的点有序数组特殊点的表示:;二、空间两点间的距离;空间两点间距离公式特殊地：若两;曲面方程的定义：空间曲面与曲线;方程特点:;圆锥面球面椭球面;(3)抛物柱面(4);第一节第九章一、区域二、多;邻域点集称为点P0的?邻域;例如，在平面上开区域闭区域??;二、多元函数的概念引例:?;01点集D称为函数的定义域;例如:(1)二元函数定义域为;三、多元函数的极限定义2.;01例1.设02求：03例;?若当点趋于不同值或有的极;四、多元函数的连续性定义3;上间断.又如,函数在圆周结论;对任意1(最值定理)2(
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11-6 高阶偏导数-教学课件（非AI生成）.ppt
第11章第六节一、高阶偏导数定义二、复合函数的高阶偏导数三、隐函数的高阶偏导数高阶偏导数1
一、高阶偏导数混合偏导数2
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则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)5
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二、复合函数的高阶偏导数解7
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例610
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例7设解法1利用隐函数求导再对x求导三、隐函数的高阶偏导数12
解法2利用公式设则两边对x求偏导13
练习：14
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11-2 偏导数-教学课件（非AI生成）.ppt
同理不存在.**说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.*可知当三、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)**半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例11.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体*内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求偏导数的方法一元求导法*3.微分定义:4.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续
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《高等数学》第11章 多元函数微分学 11.6 泰勒公式-教学课件（非AI生成）.ppt
11.6.1高阶偏导数11.6泰勒公式*11.6.1高阶偏导数*以上两个偏导数称为二阶混合偏导.*例1说明:要求四个偏导数.*定理(混合偏导数相等的条件)*n阶偏导数*例2.解：*解：令记同理有例3.*于是*分析：隐函数求二阶偏导数。解：方程两边对x求导：(1)(1)式两边对x求导：整理得：隐函数求二阶偏导例4.由(1)：*分析：抽象隐函数求一阶、二阶偏导数。解：方程两边对x求导：整理得：方程两边对y求导：整理得：（1）式两边对x求导,注意到与有相同的复合关系，例5.(1)(2)*由两边对x求导:*例6.（自变量变换）*(1)*(2)*(1)(2)(1)+(2):*练习题解:*解:*解:*