专题25指数对数运算.docx
【专题2.5指数对数运算】
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知识讲解与常考题型
【题型1：指数运算】
知识讲解
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指数的基本概念
指数的定义：一般地，形如（，为正整数）的式子叫做指数式，其中叫做底数，叫做指数。表示个相乘，即（个）。例如，。
指数的推广：
当时，规定（）。因为任何非零数的次方都等于，这是为了保证指数运算的连续性和一致性。
当为负整数时，（）。例如，。
当为分数时，（，$m,n$为互质的正整数，）。例如，。
指数运算法则
同底数幂相乘：（，$m,n$为实数）。例如，。
同底数幂相除：（，$m,n$为实数）。例如，。
幂的乘方：（，$m,n$为实数）。例如，。
积的乘方：（，为实数）。例如，。
商的乘方：（，为实数）。例如，。
例题精选
例题精选
【例题1】（2425高一上·全国·课后作业）已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可.
【详解】因为，
则．
故选：B.
【例题2】（2425高一上·全国·课后作业）化简.
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值.
【详解】原式
故答案为：.
【例题3】（2425高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可；
（2）根据分数指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）由，得，
则．
（2）因为，则，
则．
相似练习
相似练习
【相似题1】（2425高一上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】根据根式、指数运算来求得正确答案.
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
（3）原式.
【相似题2】（2425高一上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解；
（2）由指数幂的运算性质即可求解；
【详解】（1）原式
；
（2）原式．
.
【相似题3】（2425高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简求值即可；
（2）利用指数幂的运算性质化简求值即可；
（3）利用指数幂的运算性质化简求值即可；
（4）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，即可求解；
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
.
【题型2：指数对数互化】
知识讲解
知识讲解
转化的依据
1.若（，且），那么叫做以为底的对数，记作。其中，叫做对数的底数，叫做真数。
2.例如，，根据指数与对数的转化关系，可写成。
转化的规则
1.指数式与对数式是等价的，它们之间的转化规则如下：
指数式中的底数，在对数式中仍然是底数。
指数式中的指数，在对数式中成为对数的值。
指数式中的幂，在对数式中是真数。
特殊情况
1.当时，对数通常记为，称为常用对数。例如，，可写成。
2.当（，是自然常数）时，对数记为，称为自然对数。例如，，可写成。
转化的应用
1.求解指数方程：通过将指数方程转化为对数方程来求解未知数。例如，对于方程，转化为对数形式，因为，所以。
2.求解对数方程：有时也需要将对数方程转化为指数方程来求解。例如，方程，转化为指数形式，即。
3.简化计算：在一些复杂的计算中，利用指数与对数的转化可以将乘法、除法运算转化为加法、减法运算，从而简化计算过程。例如，计算，可先将其转化为指数形式，再利用指数运算法则，因为，，所以，即。
例题精选
例题精选
【例题1】（2223高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数的运算求出，再结合对数和指数的运算化简即可.
【详解】由题得，
所以.
故选：A.
【例题2】（2425高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（????）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】D
【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.
【详解】由，得，
故，
故选：D
【例题3】（2324高二下·福建南平·期末）若，，则（????）
A．10 B．20 C．50 D．100
【答案】B
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.
【详解】因为，又因为可得,
所以.
故选：B.
相似练习
相似练习
【相似题1】（2425高一上·全国·课后作业）若，，则的值为．
【答案】/
【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解.
【详解】