离散傅里叶变换及其快速算法.pptx

第二章离散傅里叶变换

及其快速算法

Fourier

v1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式，但是

他未能给出所需的加权系数。

vJean-Baptiste-JosephFourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当他8岁

时不幸成了一名孤儿，被收养在一个宗教界主办的军事学校中。在此期间，

Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了

有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。Fourier

不仅是公认的大数学家，而且他还是一位杰出的教师。他灵活运用历史典故

使得他的讲座非常生动。实际上，Fourier所研究的主要领域是数学史。

Fourier是最早以应用的眼光来解释抽象数学概念的研究者之一。

v1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家，

Fourier就是其中的一位，他负责组织修建第一条从格勒诺布尔到都灵的道

路。Fourier也是一个拥有独特想法的一个怪才。例如，他认为酷热是理想

的环境，因此，他喜欢居住在严热的小屋里，并穿上厚厚的衣服。1801，

法国决心召回自己的军队，于是Fourier才得以重返家园。

v回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间，

Fourier完成了其经典之作Theorieanalytiquedelachaleur(热能数学原理)。

在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式，其中

正弦函数的频率为频率的整数倍。

离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于

用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机

的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶

变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，

才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各

种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的

发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多

应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。

DFS离散付里级数的推导意义

01

l用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值

02

作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字

信号处理有实用价值。

l但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，

变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如

何从以上三种形式推出DFS.

1.由非周期连续时间信号推出DFS

vX(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进

行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经

过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即

为DFS.

x(t)D

x(t)T

取样F

T

t

X(ejw)tX(ejΩT)

采样

Ω

w

2.周期性连续时间信号函数

v周期性连续时间信号函数经采样后，得

到周期性的离散时间函数。

(DFS)X(ejw)

x(t)

采样

w

t

3.非周期离散时间信号

v非周期离散时间信号经过序列付里时变换(即单

位园上的Z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，

再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。

x(t)X(ejΩT)

DTFT

X(ejw)