离散傅里与叶变换及其快速算法 .ppt

例如，信号为 ，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在Ω0处的一根谱线变成了以Ω0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（Ωs）内只有一个频率上有非零值，而现在 一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即 的频率成份从Ω0处“泄漏”到其它频率处去了。 考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏，卷积后还有频谱混迭现象产生。 ? （3）栅栏效应 N点DFT是在频率区间 [0，2π] 上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点 X（k），且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡， 所以称之为栅栏效应。 减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。 (4) DFT的分辨率 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。 参数选择的一般原则： 若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频 率 ； 根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度 (3) 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度 这里T是采样周期。 (5)周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号 ， 为信号的频率。 可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理， 可完全等于 的采样。 0 5 10 15 -1 -0.5 0 0.5 1 t/T x(n) 0 5 10 15 0 2 4 6 8 10 k X(k) 0 5 10 15 -1 -0.5 0 0.5 1 t/T x(n) 0 5 10 15 0 2 4 6 8 10 k X(k) (a) (b) (c) (d) 不同截取长度的正弦信号及其DFT结果 * 圆周移位 移位前 左移两位后 证：利用周期序列的移位特性： 实际上，利用WN-mk的周期性，将f(n)=x((n+m))NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。 序列循环移位后的DFT为 F（k）=DFT[f（n）]= x（k） 同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性： IDFT[X((k+l))NRN(k)]= x（n） （3）循环卷积 若 F（k）=X（k）Y（k） 则 或 证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得： 则根据DFS的周期卷积公式： 因0≤m≤N-1时，x((m))N=x(m)，因此 经过简单的换元可证明： 这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0≤m≤N-1内进行，所以 实际上就是 y（m）的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“?”表示循环卷积，以区别于线性卷积。 1）由有限长序列 x(n)、y(n) 构造周期序列 循环卷积过程: 2）计算周期卷积 3）卷积 结果取主值 同样，若 f(n)=x(n)y(n)， 则 （4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x（n）通过系统 h（n），其输出就是线性卷积 y（n）=x（n）*h（n）。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 现在我们来讨论上述 x（n）与h（n）的线性卷积，如果 x（n）、h（n）为有限长序列，则在什