级数2016-2高等数学a 12.pdf
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级数2016-2高等数学a 12.pptx
11.级数：部分和：级数收敛：收敛和：不存在,级数发散:2.性质(5个)(3)去掉、加上或改变有限项,保持敛散性不变；(4)增加括号,保持收敛性不变(去掉括号,保持复习发散性不变).
2级数发散.几何级数级数收敛,3.4.判定级数敛散性的方法：定义、等比级数、性质逆命题、逆否命题第二节
3二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章*四、绝对收敛级数的性质
4一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证“”“”则收敛,
5（比较审敛法）设
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无穷级数研究函数工具2016-2高等数学a 12.pptx
PowerPoint演示文稿;定义：;PowerPoint演示文稿;例1讨论等比级数;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;例3判别下列级数的敛散性:;PowerPoint演示文稿;二、无穷级数的基本性质;性质2设有两个收敛级数;PowerPoint演示文稿;性质3;性质4;例4判断级数的敛散性:;三、级数收敛的必要条件;注意:;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;PowerPoint演示文稿;费马;拉格朗日;柯西;高斯
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高等数学第12章第12章D12_4函数展开成幂级数.ppt
第四节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 待解决的问题 : 定理1 . 定理2. 二、函数展开成幂级数 例1. 将函数 例2. 将 例3. 将函数 例3 附注 2. 间接展开法 例5. 将函数 例6. 将 例7. 将 内容小结 思考与练习 备用题 1. 2. 将 * 目录 上页 下页 返回 结束 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
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高等数学第12章第12章D12_5幂级数的应用.ppt
第五节 一、近似计算 例2. 计算 说明: 在展开式 例3. 利用 例4. 计算积分 例5. 计算积分 二、微分方程的幂级数解法 例6. 2. 二阶齐次线性微分方程问题 例7. 三、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 备用题 1. 2. 整理后得: 欧拉 (1707 – 1783) * 目录 上页 下页 返回 结束 一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 函数幂级数展开式的应用 第十二章 三、欧拉公式 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 用此式求 ln2 计算量大 在上述展开式
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高等数学第12章第12章D127傅里叶级数.ppt
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 定理 1. 组成三角级数的函数系 二、函数展开成傅里叶级数 定理3 (收敛定理, 展开定理) 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 说明: 例2. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 定义在[–? ,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 例3. 将函数 说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 三、正弦级数和余弦级数 例4. 设 例5. 将周期函数 2. 定义在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 例6. 将函数 再求余弦级数. 内容小结 思考与练习 2. 3. 设 4. 写出函数 作业 备用题
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高等数学第12章第12章D12_2数项级数及审敛法.ppt
一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 例1. 讨论 p 级数 2) 若 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 例2. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例3. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) (2) 当 例5. 讨论级数 *定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 说明 : 例6. 证明级数 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 三、绝对收敛与条件收敛 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例7. 证明下列级数绝对收敛 : *四、绝对收敛级数的性质 内容小结 3. 任意项级数审敛
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高等数学-无穷级数.ppt
解 解 比值审敛法失效. 根值审敛法也一定失效. 改用比较审敛法 要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行： (1)用级数收敛的必要条件 如果 ，则级数发散，否则需进一步判断. (2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用比较判别法. (3)用比较判别法 用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数， 级数等. 三、交错级数及其敛散性 级数
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高等数学 无穷级数 -.ppt
（第二版） 定理4 比值审敛法 (达朗贝尔 判定法) 收敛 发散 方法失效 由级数本身就能断定敛散性, 不必找参考级数. 适用于 的若干连乘积(或商)形式. 比值审敛法 注 要用其它方法判定. 或 不存在时, 例如, 级数收敛 ; 级数发散 . 但 级数可能收敛也可能发散. p – 级数 注 当 时, ① 一旦出现 收敛 ② 条件是充分的, 但非必要. 收敛 极限不存在 例 判定级数 的敛散性. 解 因为 所以 又因为 收敛, 所以原级数也收敛. 比值审敛法
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高等数学-幂级数.pptx
高等数学
第二十七讲
主讲教师:
王升瑞
1
习题课
幂级数和函数函数的幂级数和求幂级数收敛
的求法付式级数展开法域的方法
n数项级数的审敛法
第十一章
级数的收敛、求和与展开
2
一、主要内容
常数项级数函数项级数
一正任收幂级数三角级数
般项意敛
项项半
级级级泰勒展开式傅氏展开式
数数数径
R满足狄氏条件
泰勒级数傅氏级数
在收敛级数与数
条件下相互转化
数数或函数函数
3
1、常数项级数
级数的部分和定义级数的收敛与
发散
4
性质1:级数的每一项同乘性质2:收敛级数可以逐项
0102
一个不为零的常数,相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有
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高等数学之傅立叶级数.pptx
第七节傅立叶级数1三角级数由三角函数组成的函数项级数一、三角级数三角函数系的正交性三角级数形如：（1）其中为常数.三角函数系:（2）三角函数系的正交性:（1）中任何不同的两个函数之积在上的积分等于零;（2）中任何两个相同函数之积在上的积分不等于零.
为奇函数）即
二、函数展开成傅立叶级数3且能展开成三角级数：对（1）式从到逐项积分:01设问题：是以先求为周期的周期函数，怎样确定系数0203
乘(1)式两边,4=0类似,(2)称为函数的傅立叶系数.综上可得(2)2.再求用到逐项积分:再从
傅立叶系数所构成的三角级数:(3)(3)称为函数的傅立叶级数.在什么条件下,其傅立叶级数(3)收敛于即满足什
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五节2016-2高等数学a 12.pptx
1第五节一、近似计算二、微分方程的幂级数解法函数幂级数展开式的应用第十二章三、欧拉公式
2一、近似计算例1.计算的近似值,精确到解
3例2.计算的近似值,使准确到解已知故令得于是有用此式求ln2计算量大
4在上述展开式中取前四项,
5说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),
6例3.利用求误差.解先把角度化为弧度(弧度)的近似值,并估计
7(取的近似值,精确到解例4.计算积分
8则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差
9的近似值,精确到解由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:例5.计算积分目录
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五节2016-2高等数学a 12.pptx
1第五节一、近似计算二、微分方程的幂级数解法函数幂级数展开式的应用第十二章三、欧拉公式
2一、近似计算例1.计算的近似值,精确到解
3例2.计算的近似值,使准确到解已知故令得于是有用此式求ln2计算量大
4在上述展开式中取前四项,
5说明:在展开式中,令得具此递推公式可求出任意正整数的对数.如(n为自然数),
6例3.利用求误差.解先把角度化为弧度(弧度)的近似值,并估计
7(取的近似值,精确到解例4.计算积分
8则n应满足则所求积分近似值为欲使截断误差
9的近似值,精确到解由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间上连续,且有幂级数展开式:例5.计算积分目录
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复习2016-2高等数学a 12.pptx
1复习1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数和函数的性质换元化为标准型再求.3）缺项或幂次有间隔
21)在收敛域内幂级数的和函数连续;2)幂级数在收敛区间内可逐项求导和积分.3.求和函数的常用方法—利用幂级和函数的性质
3第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十二章
4一、泰勒(Taylor)级数其中(?在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在复习:f(x)的n阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:
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《高等数学》第9章无穷级数教学课件.ppt
9-2幂级数对于一个给定的幂级数，我们要讨论x取何值时幂级数收敛，取何值时幂级数发散？这就是幂级数的收敛性问题．由于级数(10.7)的各项可能符号不同，将级数(10.7)的各项取绝对值，得到正项级数设当n充分大时，an≠0令(10.8)则．9-2幂级数由比值判别法可知：若＜1，即∣x∣＜R，则级数(10.7)绝对收敛；若＞1，即∣x∣＞R，则级数(10.7)中当n充分大时有∣un+1∣＞∣un∣，由此可知≠0，故级数(10.7)发散．这个结论表明，只要0＜R＜+∞，就会有一个对称开区间（-R，R），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，当时，级数可能收敛也可能发散．称为幂级数(1
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高等数学下册（第2版）课件：无穷级数.ppt
例9.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,及时级数收敛,因此由和函数的连续性得:而及内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.步骤结论2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.P1461(2,4,5)2(2),3作业第四节阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广