高数课件三章习题课.pdf
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习题课
f(x)1
)x3
例1已知极限lim（1+x+e,且f(x)
x−0x
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例1习题课
例2证：
例3证：
证明
例5证明：从而
例6证??
?–?,则有
例7证明：从而故
例8证明则由罗尔定理直接得证。
由介值定理由罗尔定理，
由(1)得:(2).
例9解奇函数
列表如下:
极大值拐点极小值
作图
例解
所以,极限不存在.
例证
利用洛必达法则利用洛必达法则洛必达法则是处理未定型的有效手段如果f(x),g(x)在x0点某去心邻域内可导，且g(x)?0则存在或为无穷大
1.求极限解：利用洛必达法则原式=原式=
2.确定常数a,b,c使解：利用洛必达法则因为此时，故，若则上述极限为?故，
利用中值定理利用中值定理微分中值定理：Rolle,Lagrange,Cauchy积
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3.4函数的单调性与极值
3.4.1函数的单调性与极值
A
yy
Byf(x)
yf(x)
AB
oabxoabx
f(x)0f(x)0
定理1设函数yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可
导.如果在(a,b)内f(x)0，那末函数yf(x)
在[a,b]上单调增加；如果在(a,b)内f(x)0，
那末函数yf(x)在[a,b]上单调减少.
证x,x(a,b),且xx,应用拉氏定理,得
1212
f(x)−f(x)f()(x−x)(xx)
212112
x2−x10,
若在(a,b)内，f(x)0,则f()0,
f(x)f(x)
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;（一）函数的定义;函 数
的定义;1、函数的定义;函数的分类;(1) 单值性与多值性:;(2) 函数的奇偶性:;(3) 函数的单调性:;(4) 函数的有界性:; 设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.;3、反函数;;6、基本初等函数;7、复合函数;左右极限;1、极限的定义;;左极限;无穷小:;定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.;定理;4、求极
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习题课 一、主要内容 5、反函数与直接函数之间的关系 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6、闭区间的连续性 7、连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8、初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 9、闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
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例如,3.2洛必达法则
定理1洛必达法则.
证补充定义则有
例1解例2解
推论设
例3解
定理2设（参见P167《数学分析》，华东师大数学系编）
例4解解
例5解
例6解
例8.已知其中,有二阶连续导数，1、确定的值，使在点连续；2、求
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:
例9解
例10解
例11解步骤:
步骤:例12解
例13解例14解
例15解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．
三、小结洛必达法则
不定式极限有以下七类：
思考题
思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．
作业习题3.21(1,2),2,4.
练习题
练习题答案
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将和式极限：表示成定积分.思考题1
解：原式
证明：利用对数的性质得思考题2
极限运算与对数运算换序得
故
微积分基本公式练习2002年考研数学(二)填空3分填空题解原式
证由积分中值定理有(a为常数)定积分的概念与性质思考题3
练习解原式=微积分基本公式
微积分基本公式思考题1问:对吗?错!分析其中的x对积分过程是常数,而积分结果是x的函数.若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的注意变量x及积分变量t的函数时,应注意x与t的区别.对x求导时,绝不能用积分上限(或下限)的变量x替换积分变量.
微积分基本公式思考题1问:对吗?故正确解答因为
微积分基本公式例试证明:积分中值定理中的可在开区间取
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1.极限计算问题2.中值定理证明第三章习题课(一)
解1.极限计算问题
解另解
解
解正解
解正解
解
解
待定型解非零极限
解
运用“洛必达”应注意的问题对非连续变量不能直接使用洛必达法那么，应考虑利用洛必达法那么对相应连续变量求极限.
利用微分中值定理可以计算某些特殊极限问题解
[费尔马定理]假设满足:ⅰ)在某邻域内恒有或;ⅱ〕在点可导,那么有[洛尔定理]设在连续,在可导,且则至少使[拉氏定理]设在连续，在可导，则至少使[柯西定理]设在连续，在可导，且则至少使2.中值定理证明
证
分析：3.设函数证
证
证
证：
分析
证
证
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;一、函数极限的夹逼定理
二、无穷小量
三、无穷小量的比较
四、无穷大量
五、无穷大与无穷小的关系;一、夹逼定理;;同除以得到;解;例2;(2);例求极限;例;例3;例如,;2.无穷小与函数极限的关系:;3.无穷小的运算性质:;定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小.;极限不同,反映了无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.;定义:;注记：;例4;解;(等价代换)定理;常用等价无穷小:;例如;例6;P555(15);1.绝对值无限增大的函数称为无穷大.;证;特殊情形：正无穷大，负无穷大．;;分析：;证;不是无穷大:;定义:;五、无穷大量与无穷小量的关系;例9;(1);运算规则;小结：;习题1.5;本讲课
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第五、六节无穷大量与无穷小量
一、函数极限的定理
二、无穷小量
三、无穷小量的比较
四、无穷大量
五、无穷大与无穷小的关系
一、定理
定理(定理)设函数f(x),g(x)和h(x)
在点x0的去心邻域内有定义,满足不等式
f(x)g(x)h(x),
而且limf(x)
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第四节函数的极限(2)
一、自变量趋于定点时函数的极限
二、函数的单侧极限
三、函数极限的性质
x→x
一、当时函数的极限
0
1.问题:函数yf(x)在x→x0的过程中,对
应函数值f(x)无限趋近于确定值A.
f(x)−A表示f(x)−A任意小;
0x−x表示x→x
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主讲教师：贺慧霞北京航空航天大学数学与系统科学学院高等数学（上）
一、自变量趋于定点时函数的极限二、函数的单侧极限三、函数极限的性质第四节函数的极限(2)
一、当时函数的极限
左邻域右邻域
去心邻域
注意
例1例2证证
2.几何解释:
例3证函数在点x=1处没有定义.
例4证
例5
例6根据定义证明证
其次,当时,有故对一切都有而当时有综合起来,有不等式其中等号仅当时成立.
下面证明等式(1).由三角函数性质及(3)有故对任意的取则当时,因此
例如,二、函数的单侧极限
左极限单侧极限:右极限
左右极限存在但不相等,例7证定理
思考题
思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.
定理(局部有界性
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高数同济六版课件D8习题课高数同济六版课件D8习题课.ppt
习题课 一、内容小结 空间直线 2.线面之间的相互关系 线与线的关系 面与线间的关系 3. 相关的几个问题 (2)点 (3) 点 二、实例分析 例2. 求直线 例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 例4. 求直线 例5. 设一平面平行于已知直线 例6. 求过直线 例7. 求过点 例8.直线 思考与练习 解答: P50 21(4) 目录 上页 下页 返回 结束 一、内容小结 二、实例分析 空间解析几何 第八章 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1. 空间直线与平面的方程 为直线的方向向量. 一般式 对称式 参数式 为直线
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1、求极限3、一房地产公司有50套公寓要出租?当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去?当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费?试问房租定为多少可获最大收入？小测验2、证明：当时，
令R??0,得(1000???)内唯一驻点x?1800?因为所以1800为极大值点?同时也是最大值点?最大值为R?57800?因此?房租定为1800元可获最收入?解:房租定为x元?纯收入为R元?当x?1000时?R?50x?50?100?50x?5000?且当x?1000时?得最大纯收入45000元?当x?1000时?
复习1.换元积分法第一类换元法第二类换元法(
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（一）函数的概念 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一、主要内容 函 数 的定义 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 两者的 关系 无穷大 含 用 极限运算 运算法则 运算类型 1.常规型: 2.特殊型: 分段点处极限: ∞型: 倒数求
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例1.
ππ
解:xasint,t(−,),
22
22
a−x
tsin2t
+
24
例2.
ππ
解:xatant,t(−,),
22
22
x+a
22
x+a
例3.
解:xasect,t(0,π),
2
x=−u,
例4.
倒代换
解:x1,
t
122
2d(at−1)
2a
小结:
tnax+b第
四
tnax+b节
cx+d讲
xasintxacost
xatant
xasect
tax
倒代换
(P205~P206)
第一类换
第二类换
x(t)
1