排列组合内一类传球问题的研究.pdf

对排列组合中一类传球问题的研究 湖北省鹤峰一中 刘坤成 邮政编码 445800 摘要 排列组合问题是学生最害怕的问题之一， 本文着重研究了一类传球问 题的解法，总结出了这类问题的一般规律。 主题词 ：排列组合 传球问题 研究 正文： 有一个题是这样的： 5 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传 出，求传 10次后又回到甲的情况。 以此题为原型，本文研究了一般情况： n 个人围成一圈传球，每次只能传给 相邻的人，从甲传出，传 x 次后又回到甲的情况。 共分为四类研究： 一、奇数 n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数 x 次后又回到甲的情况。 二、奇数 n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数 x 次后又回到甲的情况。 三、偶数 n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数 x 次后又回到甲的情况。 四、偶数 n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数 x 次后又回到甲的情况。 为方便起见，以下 k 、 m 、 n 、 r 、t 均为正整数。 一、奇数 n 个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数 x 次后又回到甲的情况。 分析：从甲传出，传 x 次后又回到甲， x 为偶数； 1、当次数 x 小于 2n 次时，不妨设为 x 2m (m n) 次，只需正传 m 次，反传 m m 次，有 C2 m 种。 2、当次数 x 2n次时，分为两类：一类是 2n 次传球中正传 n 次，反传 n 次， n 0 2n 有 C2n 种；二类是 2n 次传球中正传 0 次 （反传2n 次）或正传 2n 次，有 C2 n C2 n 种。 故共有 C0 C n C 2 n 种。 2 n 2 n 2 n 3、当次数 x 在 (2 n,4 n) 之间时， 不妨设为 x 2m 次，分为三类： 一类是 2m 次 m 传球中正传 m 次，反传 m 次，有 C2m 种；二类是 2k 次传球中正传 2n t 次反传 t 次， 有 Ct 种，其中 2n t t 2m ；三类是 2k 次传球中反传 2n t 次正传 t 次，有 C t 2m 2 m 种；其中 2n t t 2m 。故共有 Cm 2C t 种，即 C m n C m C m n 种。 2m 2 m 2m 2 m 2m 4 、当次数 x 4n 次时，分为两类：一类是 4n 次传球中正传 2n 次反传 2n 次， 有 C 2n 种；二类是 4n 次传球中正传 n 次反传 3n 次或正传 3n 次反传 n 次，有 2Cn 4 n 4n 种；三类是 4n 次传球中正传 4n 次或反传 4 n 次，有 2 种。故共有 C2n 2C n 2 种，