专题29 常见不等式的解法-备战2021年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展(解析版).docx
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专题29 常见不等式的解法
【热点聚焦与扩展】
高中阶段解不等式大体上分为两类,一类是利用不等式性质直接解出解集(如二次不等式,分式不等式,指对数不等式等);一类是利用函数的性质,尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数,利用函数单调性求解,考验学生的观察能力和运用条件能力,难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路.
(一)常见不等式的代数解法
1、一元二次不等式:
可考虑将左边视为一个二次函数,作出图象,再找出轴上方的部分即可——关键点:图象与轴的交点
2、高次不等式
(1)可考虑采用“数轴穿根法”,分为以下步骤:(令关于的表达式为,不等式为)
①求出的根
② 在数轴上依次标出根
③ 从数轴的右上方开始,从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根
④ 观察图象, 寻找轴上方的部分
寻找轴下方的部分
(2)高次不等式中的偶次项,由于其非负性在解不等式过程中可以忽略,但是要验证偶次项为零时是否符合不等式
3、分式不等式
(1)将分母含有的表达式称为分式,即为的形式
(2)分式若成立,则必须满足分母不为零,即
(3)对形如的不等式,可根据符号特征得到只需 同号即可,所以将分式不等式转化为 (化商为积),进而转化为整式不等式求解
4、含有绝对值的不等式
(1)绝对值的属性:非负性
(2)式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方
(3)若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解:
① 的解集与或的解集相同
② 的解集与的解集相同
(4)对于其它含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理
5、指对数不等式的解法:
(1)先讲一个不等式性质与函数的故事
在不等式的基本性质中,有一些性质可从函数的角度分析,例如:,可发现不等式的两边做了相同的变换(均加上),将相同的变换视为一个函数,即设,则,因为为增函数,所以可得:,即成立,再例如: ,可设函数,可知时,为增函数,时,为减函数,即
由以上两个例子我们可以得出:对于不等式两边作相同变换的性质,可将变换视为一个函数,则在变换时不等号是否发生改变,取决于函数的增减性.增函数→不变号,减函数→变号
在这种想法的支持下,我们可以对不等式的变形加以扩展,例如:,则的关系如何?设,可知的单调减区间为,由此可判断出:当 同号时,
(2)指对数不等式:解指对数不等式,我们也考虑将其转化为整式不等式求解,那么在指对数变换的过程中,不等号的方向是否变号呢?先来回顾指对数函数的性质:无论是还是,其单调性只与底数有关:当时,函数均为增函数,当时,函数均为减函数,由此便可知,不等号是否发生改变取决于底数与1的大小,规律如下:
时,
时,
进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了
(3)对于对数的两个补充
① 对数能够成立,要求真数大于0,所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件,如当时,
② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”:因为,可作为转换的桥梁
6、利用换元法解不等式
(1)换元:属于化归时常用的一种方法,本质是研究对象的选取,不受题目所给字母的限制,而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归,转化为能够解决的问题.
(2)在换元的过程中,用新字母代替原来的字母和式子,将问题转化为新字母的问题,从而要先了解新字母的取值范围.即若换元,则先考虑新元的初始范围
(3)利用换元法解不等式的步骤通常为:
①选择合适的对象进行换元:观察不等式中是否有相同的结构,则可将相同的结构视为一个整体
②求出新元的初始范围,并将原不等式转化为新变量的不等式
③解出新元的范围
④在根据新元的范围解的范围
(二)构造函数解不等式
1、函数单调性的作用:在单调递增,则
(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁)
2、假设在上连续且单调递增,,则时,;时, (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号)
3、导数运算法则:
(1)
(2)
4、构造函数解不等式的技巧:
(1)此类问题往往条件比较零散,不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么,也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想,例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
(3)此类问题处理的核心要素是单调性与零点,对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性,猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.
(三)利用函数性质与图象解不等式:
1、轴对称与单调性:此
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