专题37 难舍难分的an与Sn-求数列的通项公式-备战2021年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展（解析版）.docx

PAGE1 / NUMPAGES13 专题37 难舍难分的与-求数列的通项公式 【热点聚焦与扩展】 关于求数列的通项公式问题，在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定与的关系，通过确定数列的通项公式进一步解题，常见于各类考试题中.本专题举例说常见类型的求解方法. 1、累加（累乘法） （1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和 ② 的系数相同，且为作差的形式 （2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式 2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式 （1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式. （2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题 小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，.设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出. （3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解 （4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解 4、已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用求出； (2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； (3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式. 6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整． 【经典例题】 例1.【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________． 【答案】 【解析】∵的前项和， 当时，； 当时，，∴，从而有． 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法． 例2．（2020·南昌市八一中学高三三模）设是的前项和，，且，则( ) A．-66 B．77 C．88 D．99 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以. 又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以.故选：C. 例3．（2020·宝山·上海交大附中高三三模）已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以当时，，两式相减得 ，整理得，，由 知， ，从而，即当时，， 当时，，解得或（舍），则首项为1，公差为1的等差数列， 则.所以， 则， 所以.则的最小值是.故选:A 例4．（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三三模）设数列的前项和为．若，，，则=（ ） A．242 B．121 C．62 D．31 【答案】B 【解析】 且 可得 成等比数列 其中 故选：B 例5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三三模）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，作差可得： ，又得， 则所以， …， 所以.故选：D. 例6．（2020·四川青羊·石室中学高三三模）已知数列的前项和，设，则的值等于（ ） A．0 B．1 C．7 D．14 【答案】C 【解析】当时,,解得:,当时,, , 即数列为等比数列, ,则, 则, 计算可知, 所以.故选:C. 例7．（2020·四川乐山·高三三模）数列中，已知对任意，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ① 当, ② ①-②得,又符合. 为等比数列,首项,公比为, 为等比数列,首项,公比为, 故. 故选：A 例8．（2020·张家口市宣化第一中学高三三模）已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，