专题15 利用导数证明多元不等式---备战2021年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展（解析版）.docx

PAGE1 / NUMPAGES24 专题15 利用导数证明多元不等式 【热点聚焦与扩展】 利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法. 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围 （2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 （1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法. 【经典例题】 例1．（2020·江西南昌二中高三三模）已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，，证明：. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题设可得定义域，， ①当，恒成立，在上单调递减； ②当，， 当，，故在单调递减；当，，故在单调递增. （2）证明：由（1）知，有两个零点，，则且，得，则， 又，， 又，且， 又，即， 又在上单调递减， ， 又， ，所以原命题成立. 例2．（2020·安徽高三三模）已知点是曲线上任意一点，. （1）若在曲线上点P处的切线的斜率恒大于，求实数a的取值范围. （2）点?是曲线上不同的两点，设直线的斜率为k.若，求证：. 【答案】（1）或；（2）证明见解析. 【解析】（1）由得 ， 由题意得，当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，则其对称轴方程为，在上恒成立. 若，即，则在上单调递增， ∵在上恒成立， ∴，解得； 若，则，即，解得. 综上可得或. （2）若，则，由于，不妨先设， 令，， ， 故在上单调递增， 所以，即，∴， ∴， ∴得证. 综上可知，原命题得证. 例3．（2020·四川高三三模）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点?，且，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）的定义域为， 当时，，则在上是增函数 当时，；， 所以在上是减函数，在上是增函数 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数，在上是增函数 （2）若函数有两个零，点，，根据（1），可得. 不妨设，由，得 两式相减，得，解得， 要证明，即证 即证， 设，则 则，则， 所以在上为增函数，从而，即成立， 因此，成立.即 例4．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）已知函数在处的切线与直线平行． （1）求实数的值，并判断函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，求证：． 【答案】（1）；在上是单调递减；在上是单调递增；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数的定义域：，，解得， ， 令，解得，故在上是单调递减； 令，解得，故在上是单调递增. （2）由为函数的两个零点，得 两式相减，可得 即，， 因此， 令，由，得. 则， 构造函数， 则所以函数在上单调递增，故， 即，可知.故命题得证. 例5．（2020·江西景德镇一中高三三模）已知函数. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，且，证明：. 【答案】（1）递增区间，递减区间（2）证明见解析 【解析】（1）时，， ， 所以当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）， 因为函数有两个极值点， 所以只需，解得， 例6．（2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数，且曲线在处的切线平行于直线． （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数图象上不同的两点，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）函数的单调增区间是，单调减区间是；（3） 【解析】（1）的定义域为． 曲线在处的切线平行于直线，，． （2），． 当时，是增函数；当时，是减函数． 函数的单调增区间是，单调减区间是． （3），，． 又， ． 设，则， 在上是增函数． 令，不妨设，，， 即．又，，． 例7．（2020·湖南常德市一中高三三模）设关于的方程有两个实根，且.定义函数. （1）求的值； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【解析】（1） . （2），， 所以在上是单调递增函数，所以 ，， 所以， ， ， 所以成立. 例8．（2020·全国高三三模）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，，，证明：． 【答案】