2026新高考数学一轮复习第3讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（解析版）.pdf

新高考数学一轮复习

第3讲一元二次不等式与其它常见不等式解法

题型一:不含参数_元二次不等式的解法

【典例1-1]不等式^2-x-60的解集为.

【答案】(一2,3)

【解析】由不等式x2-x-60,可得(x-3)(x+2)0,解得-2x3,

所以不等式的解集为(-2,3).

故答案为(—2,3).

【变式1-1]一元二次不等式-x2+2x+30的解集为.

【答案】(―叫―1)顷3,+8)

【命牟析】由-F+2x+30可得x2—2x-30,

艮(x—3)(x+1)0,

解得x3或工—1,

所以不等式的解集为(-°°,-1)顷3,+8).

故答案为(-8,-1)0(3,+8)

题型二:含参数_元二次不等式的解法

【典例2-1］设函数/(x)=履+(1-小+。-2(。cR)

(1)若不等式f⑴-2对一切实数x恒成立，求。的取值范围；

(2)解关于了的不等式

【解析】(1)2对一切实数尤恒成立，等价于\/x^R,ax2+(l-a)x+a0恒成立.

当。=0时，不等式可化为x0,不满足题意.

当心0,有0，即］3疽+2。_120,解碍。勺

所以a的取值范围是［§,+00).

(2)依题意，f(x)a-1等价于ax2+(l-4Z)x-l0,

当1=0时，不等式可化为尤1,所以不等式的解集为(x|xl｝.

当i〉0时，不等式化为(ax+l)(x-l)0,此时--1,所以不等式的解集为-Lvxvl｝.

aa

当。0时，不等式化为(xr+l)(x—1)0,

①当a——\时，—=1,不等式的解集为｛x|xl｝；

a

②当-10时，1,不等式的解集为｛工1工—或xvl｝；

aa

③当a—l时，—vl,不等式的解集为｛x|x1或xv一上｝；

aa

综上，当。-1时，原不等式的解集为｛x|xl或x-次；

a

当。=—1时，原不等式的解集为(x|x^l｝;

当—1a0时，原不等式的解集为｛x|x—或xl｝；

a

当。二0时，原不等式的解集为｛同工1｝；

当i〉0时，原不等式的解集为｛幻-Lvxvl｝.

a

【变式2・1】已知函数了3)=/—2破+3.

(1)若关于%的不等式。的解集为R,求实数。的取值范围；

(2)解关于的不等式f(x)0.

【解析】(1)若不等式^2—2破+3Z。的解集为R,

则△=(—2.)2—1240,

解得-屈。V右，

即实数1的取值范围［-73,73］；

(2)不等式x2—2ax+30,

①当△()时，艮P-V3«^时，不等式的解集为0,

②当△〉()时，即Q-右或。右时，

由Jr。—2破+3=0，解得x=a—Ja2—3或x=a+Ja2-3，

所以不等式的解集为{x\a-\/a2-3xa+^a2-3),

综上所述，当-^ay［3时，不等式的解集为0;

当］-^3或1〉£时，不等式的解集为{工也一Jt?一3vxvo+J/_3}.

题型:个二次之间的关系

【典例3-1】已知关于x的不等式x2-ax+b0的解集为国2GV3},则关于尤的不等式

x2-bx+a0的解集为()

A.{/2vxv3}B.|x|lx3}

C.|x|2x5}D.{x|lx5}

【答案】D

【解析】根据题意，方程X2-ax+