2021年高考数学二轮复习解题技巧汇总（新高考地区专用）专题02 平面向量（新高考地区专用）（解析版）.docx

PAGE1 / NUMPAGES20 专题02 平面向量 技巧导图 技巧导图 技巧详讲 技巧详讲 一：奔驰定理 1：奔驰定理内容三角形的面积比等于其所对应的系数比 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 2.推导过程 证明方法一：如图延长与边相交于点则 推论是内的一点，且，则 二.极化恒等式 2.推导过程： 三角形的四心 1.推论 重心：中线的交点， ①是的重心 ②中线长度分成2：1 ③= 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 ①是的内心 ② 外心： ①是的外心 ② 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 ①是的垂心: 证明：如图为三角形的垂心， 同理得， ② 由，得，即，所以．同理可证，． 技巧举证 技巧举证 技巧1 奔驰定理 【例1】是内一点，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】技巧法：公共点P，三角形ABC，则 常规法： 是内一点，且满足， ．延长到，使得，延长到，使得， 连结、、，则． 是的重心，设，则， ，，， ．故选：． 技巧 技巧法注意事项 条件一般是3个同起点的向量相加减且等于零向量，若系数有正有负则公共点在三角形外，系数都为正则公共点在三角形内 三角形所对应的向量的找法 图像法：三角形顶上的向量 顶点法：公共点即起点，剩余3点构成三角形的三个顶点，对应的向量两个点其中一个点为公共点，另外一点则是三角形的顶点。 【举一反三】 1.已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】技巧法 ,所以,即 公共点为P，三角形ABC，则所对应的向量，其系数为2，为整个三角形，其所对应的系数为三个向量的系数,6，所以面积比为 常规法：如图所示, ,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,故选:C 2.（广东省深圳外国语学校2020）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】技巧法：公共点为A，三角形为PCB，则与对应的向量为，则与的面积之比为 常规法：点是所在平面上一点，过作，如下图所示： 由，故， 所以与的面积之比为，故选：D． 3.（天津市红桥区2019）已知点O是内一点，满足，，则实数m为（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】 技巧法： ， 常规法：由得： 设，则 三点共线 如下图所示： 与反向共线 本题正确选项： 技巧2 三角形的四心 【例2-1】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心． 【答案】垂 【解析】 ，即 同理可得：，点为的垂心本题正确结果：垂 【例2-2】（黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学）在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】D 【解析】 设为中点，则 为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项： 【举一反三】 1.（河北省保定市）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（ ） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】B 【解析】本题采用特殊位置法较为简单. 因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有. 如图： 则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点， 所以点是的重心，故选B. 2．（辽宁朝阳柳城高中）设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】由于点P是△ABC所在平面内一点，， 同理可知,则说明点P是三角形ACB的垂心，故选D. 3．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心． 【答案】外心 【解析】由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心 故答案为外心. 4．设是平面内一定点，为平面内一动点，若，则为的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】若 可得， 即为 即有，则，故O为的外心，故选B. 技巧3 极化恒等式 【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，边上中线长为3，则（ ） A．-7 B．7 C．-28 D．28 （2）（2020届河南省八市重点高中联盟领军）在中，，点在上，且，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）A（2）A 【解析】（1）在中，设的中点为，则.由题意知：.则故选A. （2）如图，设的中点为. 因为. 因为，所以.又因为，所以， ，所以