高中数学专题05 函数的概念及其表示、分段函数（重难点突破）原卷版.pdf

专题05函数的概念及其表示分段函数

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点理

【基础知识梳理】

一、函数的概念

1.函数与映射的相关概念

（1）函数与映射的概念

函数映射

两个集合

设A、8是两个非空数集设43是两个非空集合

A、B

按照某种确定的对应关系f,使对于按某一个确定的对应关系了,使对于集

对应关系集合A中的任一个数x,在集合3合A中的任一个元素x,在集合B中

中都有唯一确定的数八X)和它对应都有唯一确定的元素与之对应

称小A^B为从集合A到集合B的一称力为从集合A到集合2的一

名称

个函数个映射

记法/：A-B

注：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义

域内的任一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

(2)函数的定义域、值域

在函数xGA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏x)k©A｝叫做函数的值域.

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注定义域对图象的影响.

二、函数的三要素

1.函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的

要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y=x°的定义域是

2.函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y=#x)的形式，可根据题目的条件转

化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求

出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3.函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数y=kx+b(k为常数且期0)的值域为R

(2)反比例函数y=七(人为常数且原0)的值域为(-co,0)U(0,+»).

x

(3)二次函数丁=〃%2++。(〃，b,c为常数且。邦)，

2

4-ctc—/?

当〃0时，二次函数的值域为E,+8);

4〃

当〃0时，二次函数的值域为(-8,

4〃

22

求二次函数的值域时，应掌握配方法：y=ax+bx+c=a(x+—)+