北京理工大学《实变函数》2021-2022学年第一学期期末试卷.doc

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北京理工大学

《实变函数》2021-2022学年第一学期期末试卷

题号

一

二

三

四

总分

得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、求微分方程的特解形式是什么？（）

A.B.C.D.

2、函数的极大值点是（）

A.

B.

C.

D.不存在

3、级数的和为（）

A.

B.

C.

D.

4、已知函数f(x,y)=ln(x2+y2)，则函数在点(1,1)处的梯度为（）

A.(2/2,2/2)B.(1/2,1/2)C.(2/√2,2/√2)D.(1/√2,1/√2)

5、若函数，则函数在点处的切线斜率是多少？（）

A.B.C.1D.2

6、有一旋转体是由曲线，直线和以及轴围成的图形绕轴旋转一周而成，求该旋转体的体积是多少？（）

A.

B.

C.

D.

7、求由曲面z=x2+y2和z=2-x2-y2所围成的立体体积（）

A.π；B.2π；C.3π/2；D.4π/3

8、级数的和为（）

A.

B.

C.

D.

9、设函数，求函数在点处的全微分是多少？（）

A.

B.

C.

D.

10、计算极限的值是多少？（）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

1、已知向量，向量，向量，则向量，，构成的平行六面体的体积为______________。

2、求函数的单调递增区间为____。

3、将函数展开成的幂级数为______。

4、判断级数的敛散性，并说明理由______。

5、计算二重积分，其中是由直线，和所围成的区域，其值为______________。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)

1、（本题10分）求曲线在点处的切线方程和法线方程。

2、（本题10分）求由曲线，轴在区间上所围成的图形绕轴旋转一周所形成的旋转体体积。

3、（本题10分）求由方程所确定的隐函数的导数。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)

1、（本题10分）设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间内可导，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。