模型训练：全等三角形基本模型（原卷版）.docx
全等三角形基本模型训练
全等模型一一线三等角模型
例题：【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、△CAF的外角．若，，求证：△ABE≌△CAF．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．
巩固训练
1．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上．
①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由；
②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由．
(2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．
全等模型二三垂直模型
例题：通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
巩固训练
1．（2024上·吉林辽源·九年级统考期末）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
(1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．
全等模型三旋转型模型
例题：如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，度；
（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若，，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．
巩固训练
1．如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
全等模型四倍长中线模型
例题：（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，