4.1 直线的方向向量与平面的法向量 (3).pptx
4.1直线的方向向量与平面的法向量
在前面我们已经把向量从平面推广到空间,由此认识到:向量既有长度又有方向,且能用代数方法来表达几何特征,是用代数方法研究几何问题的有效工具.本节我们将学习用向量方法解决立体几何中的一些问题.空间向量在立体几何中的应用主要有以下三个方面:刻画基本图形,讨论位置关系,研究度量关系.情境导入
前面的学习中,我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是:首先将立体几何问题转化为向量问题,然后运用向量方法求解,最后再回到立体儿何问题.几何特征的代数表述起着重要的作用.我们知道,立体几何研究的基本对象是点、直线、平面,以及由它们组成的空间图形,因此用空间向量解决立体几何问题时,首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来.
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1.掌握直线的方向向量与直线的向量表示及应用.2.理解平面的法向量及其应用.1.掌握直线的方向向量与直线的向量表示及应用.逻辑思维、数学运算素养.2.理解平面的法向量及其应用.逻辑思维、数学运算素养.课标要求素养要求
探究点1直线的方向向量与直线的向量表示及应用?探究导学
由此可见,空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定.如图3-30,已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t使得?反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.
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??图3-31
探究点2平面的法向量及其应用我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n±α.那么如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢?
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例4已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标.?
例5在长方体ABCD-ABCD中,已知AB=1,AD=2,AA=3. ⑴在四边形BCCB内是否存在一点N,使得AN丄平面ABD?⑵求证:AC与平面ABD的交点恰为线段AC的三等分点.?
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A课堂评价
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??课堂小结