直线的方向向量平面的法向量及其应用.pdf

直线的方向向量、平面的法向量及其应用

一、直线的方向向量及其应用

1、直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的

方向向量可以有无数个．

2、直线方向向量的应用：利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

llallABal

（1）若有直线,点A是直线上一点，向量是的方向向量，在直线上取，则对于直线上

APtABal

任意一点P，一定存在实数t，使得，这样，点A和向量不仅可以确定的位置，还可具体表示出

l上的任意点．

a

（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是和

bxyOPxayb

，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（，），使得，这样，点

ab

O与方向向量、不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

二、平面的法向量

1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．

aa

2、在空间中，给定一个点A和一个向量，那么以向量为法向量且经过点A的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用

lluulluulluu

1、若两直线、的方向向量分别是、，则有////，⊥⊥．

121212121212

vvvvvv

2、若两平面α、β的法向量分别是、，则有α//β//，α⊥β⊥．

121212

luvluvluv

若直线的方向向量是，平面的法向量是，则有//α⊥，⊥α//

四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

1、设出平面的法向量为n(x,y,z)．

2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a,b,c),b(a,b,c)

111222

na0

3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

nb0

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系

（一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

llab