立体几何向量法+直线的方向向量和平面的法向量(学生版).doc

直线的方向向量与平面的法向量 （学生版） 教学目标：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用待定系数法求平面的法向量 教学重点：直线的方向向量和平面法向量的求法 教学难点：平面法向量的求法 教学过程： 情境引入 在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。如何用向量刻画空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ 概念讲解 1．直线的方向向量：把直线上的向量（）以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量 2．平面的法向量 如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量垂直于平面，记作。此时，我们把向量叫做平面的法向量。 一个平面的法向量有 个，过一个定点作平面的法向量有 个 注意： （1）法向量一定是非零向量; （2）一个平面的所有法向量都互相平行; （3）向量是平面的法向量，向量与平面α平行或在平面α内，则有 。 三、 空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系的向量表示 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 1.∥ ； 2.直线与直线垂直： ⊥ ； 3.直线与平面平行： ∥ ； 4.直线与平面垂直： ⊥ ； 5.平面与平面平行： ∥ 6.平面与平面垂直： ⊥ 数学应用 例1 ：在正方体ABCD—ABCD中，求证：是平面ACD的法向量。 变式训练：在正方体ABCD—ABCD中，求平面ACD的一个法向量。 小结:求平面法向量的步骤： （1）设平面的一个法向量为； （2）找出平面内不共线的两个向量； （3）列方程组； （4）解方程组，取其中一个解，得平面的法向量。 练习：在空间直角坐标系中,已知,,求平面ABC的一个法向量. 例2： 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE。求证：MN//平面CDE 例3：已知正方体中，分别为，的中点， 求证：平面 例4： 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，是中点，作交于。 求证：（1）平面 （2）平面 例5：设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的体对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，求的取值范围 课后作业： 班级______ 学号______ 姓名__________ 1.直线的方向向量分别是，直线的位置关系是（ ） A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、重合 2.的法向量分别是，则平面的位置关系是（ ） A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、以上都不对 3.直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是___________ 4.,求平面ABC的法向量。 5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点， 求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C． 6.如图，在正方体中，、分别是，的中点 （1）求证：； （2）求证： （3）棱上是否存在点，使平面，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由 7.在四棱锥中，底面为正方形，侧棱垂直于，,是的中点，做于点，证明：（1）平面；（2）平面 8.是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. 若为的中点，求证：面 A B C D P E 4 4 4 4 2 2