《二项式系数的性质》参考课件.pptx

北师大版同步教材参考课件;课标阐释;同学们根据二项式定理写出(a+b)n(n=0,1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式:

这个表早在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,所不同的仅在于这里的表是用阿拉伯数学表示,在那本书里是用汉字表示的,称为“杨辉三角”.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的,杨辉三角的发现比欧洲早500年左右,由此可见我国古代在数学方面的成就.

你能根据上述规律写出下一行的数值吗?;杨辉三角与二项式系数的性质

因为(a+b)0=1,所以可以把n=0对应的二项式系数看成1.把n=0,1,2,3,4,5,6对应的二项式系数逐个写出,并排成如下数表形式:;上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为“帕斯卡三角”.

杨辉三角至少具有下面的性质:

(1)每一行都是对称的,且两端的数都是1.;探究新知;微思考1

杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系?

提示:杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a+b)n-1展开式的二项式系数.

微思考2

如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和?

提示:通常利用赋值法.

微练习

在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=()

A.6B.7C.8D.9

答案:A;“杨辉三角”的应用

例1如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是()

A.第6行

B.第7行

C.第8行

D.第9行

解析:由题意,第6行为1615201561,第7行为172135352171,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.

答案:B;反思感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

(1)观察:对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律.

(2)表达:将发现的规律用数学式子表达.

(3)结论:由数学表达式得出结论.;1如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.?;答案:34;求展开式的系数和

例2设(1-2x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020·x2020(x∈R).

(1)求a0+a1+a2+…+a2020的值;

(2)求a1+a3+a5+…+a2019的值;

(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2020|的值.

分析先观察所求式子与展开式各项的特点,利用赋值法求解.;解:(1)令x=1,得

a0+a1+a2+…+a2020=(-1)2020=1.①

(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2019+a2020=32020.②

①-②得2(a1+a3+…+a2019)=1-32020,

∴a2k-10(k∈N+),a2k0(k∈N).

∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2019|+|a2020|=a0-a1+a2-a3+…-a2019+a2020=32020.;1.解决二项式系数和问题的思维流程.

2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1.;3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),;2已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:

(1)a0+a1+a2+a3+a4;

(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.

解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,

令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,

所以a0+a1+a2+a3+a4=1.

(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,

令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①

令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②

所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2

=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)

=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.;求展开式中系数或二项式系数的最大项

(1)求二项式系数最大的项;

(2)系数的绝对值最大的项是第几项?;典例讲解;反思感悟二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.

(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.

(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.;在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.

解