《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件.ppt

* 一般地，对于n N*有 二项式定理: 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 6 5 4 3 2 1 (a+b)n展开式的二项式系数 n 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 对称性 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 思考 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + ①每行两端都是1，因为 Cn0= Cnn=1；与这两个1等距离的项的系数相等，因为Cnm = Cnn-m ; ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，因为Cn+1m= Cnm + Cnm-1 《详解九章算法》中记载的表 杨 辉 杨辉三角 在西方，这个表叫做帕斯卡三角，杨辉的发现要比欧 洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值 得中华民族自豪的. 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 例如，当 时，其图象是右图中的7个孤立点． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 二项式系数的性质 ①对称性 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) 练习 A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 B 2、若（a+b）n展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等， 则n=__________ 8 二项式系数的性质 ②增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 由： 即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值. 可知，当 时， 二项式系数的性质 ②增减性与最大值 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. 练习 1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大值为_____,是第____项. 2.在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大 值为 ，系数最大项为第_____项，系数最小项为第____项. 变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？ 二项式系数的性质 ③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于： 例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 完成 课本 P35 练习 练习 2.求证： 倒序相加法 3.求证 构造法 *