2“杨辉三角”与二项式系数的性质.doc

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2）. 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数 定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，， 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 三、讲解范例： 例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知. 例2．已知，求： （1）； （2）； （3）. 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴， 当时，，∴， （2）令， ① 令， ② ①② 得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+② 得：， ∴ ， ∴ 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解： =， ∴原式中实为这分子中的，则所求系数为 例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 解：∵ ∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为， 在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 ∴展开式中含x的项为 ， ∴此展开式中x的系数为240 例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 解：依题意 ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10 设第r+1项为常数项，又 令， 此所求常数项为180 例6． 设， 当时，求的值 解：令得： ， ∴， 点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例7．求证：． 证（法一）倒序相加：设 ① 又∵　　　② ∵，∴， 由①+②得：， ∴，即． （法二）：左边各组合数的通项为 ， ∴ ． 例8．在的展开式中,求: ①二项式系数的和;　 ②各项系数的和;　 ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　 ④奇数项系数和与偶数项系数和;　 ⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关. 解：设(*), 各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为. ②令,各项系数和为. ③奇数项的二项式系数和为, 偶数项的二项式系数和为. ④设, 令,得到…(1), 令,(或,)得…(2) (1)+(2)得, ∴奇数项的系数和为; (1)-(2)得, ∴偶数项的系数和为. ⑤的奇次项系数和为; 的偶次项系数和为. 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. 解：由题意,解得. ①的展开式中第6项的二项式系数最大, 即. ②设第项的系数的绝对值最大, 则 ∴,得,即 ∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项 例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令，则展开式中各项系数和为， 又展开式中二项式系数和为， ∴，． （1