2024_2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案2新人教A版必修1.doc

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2.3幂函数

（一）实例视察，引入新课

(1)假如张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她须要支付P=W元P是W的函数（y=x）

(2)假如正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2S是a的函数

（y=x2）

(3)假如立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3S是a的函数

（y=x3）

(4)假如一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=a是S的函数（y=）

(5)假如某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=t-1V是t的函数（y=x-1）

问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?

学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.

【设计意图】引导学生从详细的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.

（二）类比联想，探究新知

1.幂函数的定义

一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(powerfunction)，

其中x为自变量，ɑ为常数。

留意:幂函数的解析式必需是y=ｘa的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生推断y=2x2y=（x+1）2y=x2+1是否为幂函数）

【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

2.幂函数的图像与简洁性质

同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来探讨幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）

不妨也找出典型的函数作为代表：

y=xy=x2y=x3y=y=x-1

让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像

问题三：全部图像都过第几象限，全部图像都不过第几象限，为什么？

学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x0时全部幂函数都有意义,且函数值都为正.

问题四:第一象限内函数图像的改变趋势与指数有什么关系,为什么？

学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清晰.

老师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们中学不做探讨，当是正整数时很明显递增，当是正分数时，可以化成根式，很明显当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.

问题五：全部图像都过哪些点，为什么？

学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.

问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？

学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.

问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？

学生反应：当0x1时，指数小的图像在上方，当x1时，指数大的图像在上方，对于缘由大部分学生不能很快反应过来.

老师活动：在0x1内任取个x值，例如a，确定有oa1,此时联系到指数函数的单调性，有指数小的函数值越大，同样，当x1时，指数大的函数值就大.

【总结】

幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不行能全部总结清晰，但我们在探究性质的过程中知道了探讨方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很简洁看出来，不过要严格推断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：

函

函

数

性

质

y=x

y=x2

y=x3

y=

y=x-1

定义域

R

R

R

[0，+∞)

{x︱x≠0}

值域

R

[0，+∞)

R

[0，+∞)

{y︱y≠0}

单调性

增

(-∞,0)增

[0，+∞)减

增

增

(-∞,0)减

（0+∞)减

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

公共点

（1,1）

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

（三）新知应用

【性质证明】证明幂函数y=在[0，+∞)上是增函数

证明：

老师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2)幂函数的单调性很简洁视察，强调严格推断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很简洁视察，以至于在证明中干脆用到了单调性，如干脆推断

【例】比较下列各组数种两个值的大小

（1）

（2）

（3）

解：:(1)y=5.2x是增函数,

∵0.10.2∴5.20.15.2

(2)y=x0.9在(0,+∞)内是增函数

∵