清华微积分(高等数学)六讲定积分(一).ppt

* P166 习题6.2 1(1)(5). 2(2). 3(1)(3). 4(4)(5). 5(1). 复习：P158—166 作业 预习：P168—174 第十六讲 定积分（一） 二、定积分的概念 三、可积性条件与可积类 一、两个典型例子 四、定积分的基本性质 [例1] 曲边形的面积问题 一、两个典型例子 曲边梯形 (1) 细分: (2) 取近似： (4) 取极限: (3)求和: [例2] 变速直线运动的路程问题 细分： (4) 取极限: 以匀速近似变速 (2)取近似： (3)求和： 二、定积分的概念 （一）黎曼积分定义： 记作: 积分上限 积分下限 称为积分区间 定积分是 : 积分和式的极限 [例1]曲边梯形的面积 [例2]变速直线运动的路程 （二）定积分的几何意义 [证] [证] 定理1： 三、可积性条件与可积函数类 证明思路：反证法。假设 f(x) 在[a,b]上无界， 则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾. 定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。 定理3： 定理4： 定理2： 四、定积分的基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关 性质一： 线性性质 性质二：关于区间的可加性 [注意1] 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、 下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即 [注意2] 定积分的定义中，下限a小于上限b，否则， 做如下规定: 关于区间可加性的推广 性质三：积分的不等式性质 （证明：利用极限的保序性质） 性质四：积分的保号性 性质五：积分的不等式性质 [注意] 性质六：积分的估值性质 性质七：积分中值定理 性质八：广义积分中值定理 平均高度 函数平均值 [证] 由假设条件，可以证明 *