积分变换六讲Laplace变换的概念.ppt

第二章 Laplace 变换 Laplace 变换的概念 Laplace 变换的性质 Laplace 逆变换 卷积 Laplace 变换的应用 例4 求单位脉冲函数 d (t) 的拉氏变换. * Fourier 积分公式的指数形式： Fourier 变换式： Fourier 逆变换式： Fourier 变换的性质 1、线性性质 2、位移性质 象函数的位移性质 3、微分性质 如果 f(t) 在 (-∞, +∞) 上连续或只有有限个可去 间断点，且当 |t|→∞ 时， f(t)→0，则 推论 象函数的导数公式 4、积分性质 如果当 |t|→+∞ 时， 广义 Fourier 变换的一些例子 解：由位移性质可知， 从而， 广义 Fourier 变换的一些例子 解：由象函数的位移性质可知， 从而， 广义 Fourier 变换的一些例子 解：由象函数的导数性质可知， 从而， 卷积的概念 若已知函数 f1(t)，f2(t)，则积分 称为函数 f1(t) 与 f2(t) 的卷积，记为 f1(t) * f2(t)， 即 卷积定理 卷积定理 广义 Fourier 变换的一些例子 解：由卷积定理可知 从而， 由于 定义 设函数 f (t) 当 t ?0 时有定义, 而且积分 在 s 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函 数可写为 称上式为函数 f(t) 的 Laplace (拉普拉斯)变换式. 记为 F(s)=L [f(t)] F(s) 称为 f(t) 的 Laplace 变换(或称为象函数). 而 f(t) 称为 F(s) 的 Laplace 逆变换(或象原函数). 记为 f(t)=L-1[F(s)]. 解： 这个积分在 Re(s)0 时收敛，且有 注：k为复数时也成立，此时要求 Re(s)Re(k). 例2 求指数函数 f (t)=ekt 的 Laplace 变换 (k 为实数). 解： 在 Re(s) k 时收敛，且有 在半平面 Re(s)c 上一定存在，右端的积分在 Re(s)?c1c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s)c 的半平面内，F(s) 为解析函数. Laplace 变换的存在定理 若函数 f (t) 满足:1、在 t ? 0 的任一有限区间上分段连续； 2、当 t ? ?? 时，f (t) 的增长速度不超过某一指数 函数，即存在常数 M 0 及 c ? 0，使得 | f (t)| ? Mect, 0 ? t ??则 f(t) 的拉氏变换 例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的 Laplace 变换 例5 求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏变换. 例6 求周期性三角波 b O b 2b 3b 4b t f(t) 且 f(t+2b)=f(t) 的 Laplace 变换. * * *