变量及分布列课时离散型随机变量的均值与方差.doc

第十一章　计数原理、随机变量及分布列第6课时　离散型随机变量的均值与方差 考情分析 考点新知 离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力． ①了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义． ②会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题. 1. (选修23P67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在1h内平均占线10min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的数学期望为________． 答案： 解析：每个分机占线的概率为，X～B，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝8×＝. 2. (选修23P66例2改编)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，则E(X)＝________，V(X)＝________. 答案：2　1.98 解析：X～B(200, 0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98. 3. (选修23P71习题4改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X的均值为________．(填数字) 答案：1.24 解析：射击次数X的分布列为 X 1 2 3 P 0.8 0.16 0.04 ∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24. 4. (选修23P71习题1改编)随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则方差V(X)的值是________． 答案： 解析：a、b、c成等差数列，有2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝. 得a＝，b＝，c＝，∴ V(X)＝2×＋2×＋2×＝. 5. 一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线．已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________． 答案：1.4 解析：随机变量ξ可能取的值为0、1、2、3. 依题意，得P(ξ＝0)＝0.15, P(ξ＝1)＝0.4， P(ξ＝2)＝0.35，P(ξ＝3)＝0.1 ∴ ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 ∴ 它的期望为E(ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. 1. 均值 (1) 若离散型随机变量ξ的分布列为： ξ x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为ξ的均值或数学期望，简称期望． (2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3) 数学期望的性质． E(c)＝c，E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b、c为常数)． 2. 方差 (1) 若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1，x2，…，xn且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称： V(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(xn－E(ξ))2pn为ξ的方差． (2) σ＝，叫标准差． (3) 随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性． (4) 方差的性质 a、b为常数，则V(aξ＋b)＝a2Vξ. 3. 若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)． 4. 期望与方差的关系 均值(期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2. [备课札记] 题型1　离散型随机变量的期望 例1　已知离散型随机变量ξ1的概率分布为 ξ1 1 2 3 4 5 6 7 P 离散型随机变量ξ2的概率分布为 ξ2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 P 求这两个随机变量数学期望、方差与标准差． 解：E(ξ1)＝1×＋2×＋…＋7×＝4； V(ξ1)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，σ1＝＝2. E(ξ2)＝3.7×＋3.8×＋…＋4.3×＝4； V(ξ2)＝0.04，σ2＝)＝0.2. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.