【优选整合】高中数学人教A版选修4-5 3.2 一般形式的柯西不等式 素材.doc

庖丁巧解牛 知识·巧学 一、二维形式的柯西不等式 定理1 （二维形式的柯西不等式） 已知a1，a2，b1，b2∈R，则(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)2(b12+b22)2，当且仅当a1b2-a2b1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a1，a2，b1，b2,以下不等式成立： ≥|a1b1+a2b2|; ≥|a1b1|+|a2b2|. 联想发散 不等式中等号成立a1b2-a2b1=0.这时我们称(a1,a2),(b1,b2)成比例,如果b1≠0,b2≠0,那么 a1b2-a2b1=0.若b1·b2=0,我们分情况说明：①b1=b2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b1=0,b2≠0,原不等式化为(a12+a22)b22≥a22b22,也是自然成立的;③b1≠0,b2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b1·b2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b1b2≠0,等号成立的条件可以写成,这种写法在表示一般形式(n维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的. 定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立. 学法一得 定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为（bi为零时，ai为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x1,x2,y1,y2∈R，那么 . 二维形式的三角不等式的变式：用x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1，用x2-x3代替x2，用y2-y3代替y2，代入定理3，得 二、一般形式的柯西不等式 定理 设ai,bi∈R(i=1,2, …,n),则(. 当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当bi=λai(1≤i≤n). 即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)2(b12+b22+…+bn2)2（ai,bi∈R,i=1,2,…,n）中等号成立的条件是=…=. 记忆要诀 这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式： 变式1 设ai∈R，bc0(i=1,2, …,n),则,等号成立当且仅当bi=λai(1≤i≤n). 变式2 设ai,bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则,等号成立当且仅当b1=b2=…=bn. 深化升华 要求ai，bi均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用. 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a1, …,an;b1, …,bn都表示实数）是： （1）a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,则|a1b1+a2b2+…+anbn|≤1; （2）a1a2+a2a3+a3a1≤a12+a22+a32; （3）(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2); （4）(a+b)(+)≥4=(1+1)2，其中a、b∈R+; （5）(a+b+c)(++)≥9=(1+1+1)2,其中a、b、c∈R+. 柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题 知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a1a2…anan+1,求证： 0. 思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a1-an+1)·［］1. 证明：为了运用柯西不等式，我们将a1-an+1写成 a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+ …+(an-an+1),于是 ［(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)］·（）≥n21. 即(a1-an+1)·（）1, ∴, 故0. 方法归纳 我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x1,x2, …,xn∈R+,求证： ≥x1+x2+…+xn