2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第三讲二一般形式的柯西不等式.ppt

返回 返回 (a1b1＋a2b2＋a3b3)2 bi＝0(i＝1,2,3) (a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件． 答案：16 答案：C 5．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形． 问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最 小，并求此最小值． 返回 返回 1．三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则 (a＋a＋a)(b＋b＋b)≥，当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立． 2．一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥，当且仅当bi＝0(i＝1,2…n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． [例1]　设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥. [证明]　(x1＋x2＋…＋xn)(＋＋…＋) ＝[(1)2＋()2＋…＋()2][()2＋()2＋…＋()2]≥(·＋·＋…＋·)2＝n2 ＋＋…＋≥. 柯西不等式的结构特征可以记为： (a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋ ＋…＋)2. 其中ai，biR＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键． 1．已知a、b、c、dR＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤3. 证明：根据柯西不等式，有 (＋＋)2≤ (1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18 ＋＋≤3 2．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：由柯西不等式知， (＋＋)(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·[()2＋()2＋()2]≥(×＋×＋×)2＝(a＋b＋c)2， 又a，b，c为正数，a＋b＋c0. ＋＋≥a＋b＋c. [例2]　(1)已知x、y、zR＋，且x＋y＋z＝1. 求 ＋ ＋ 的最小值． (2)设2x＋3y＋5z＝29. 求函数μ＝＋＋的最大值． [解]　(1)x＋y＋z＝1， ＋＋＝(＋＋)(x＋y＋z) ≥(·＋·＋·)2 ＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x＝＝， 即x＝，y＝，z＝时取等号． 所以＋＋的最小值为36. (2)根据柯西不等式，有 (·1＋·1＋·1)2 ≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40 ＝120. 故＋＋≤2 ， 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即x＝，y＝，z＝时等号成立． 此时μmax＝2 . 解析：(a＋b＋c＋d)·(＋＋＋) ＝[()2＋()2＋()2＋()2]·[()2＋()2＋()2＋()2]≥(·＋·＋·＋·)2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16， 当且仅当a＝b＝c＝d时取等号． 3．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)·(＋＋＋)的最小值为________． 4．已知：x，y，zR＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为(　　) A．2　　　　　B．2 C．4 D．5 解析：(＋2＋)2＝(1×＋2＋·)2≤(12＋22＋()2)[()2＋()2＋()2]＝8(x＋y＋z)＝16.(当且仅当x＝y＝z＝时取等号)． ＋2＋≤4. 解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝()2＋()2＋()2＝(x2＋y2＋z2)．(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122， 即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3. 当且仅当＝＝时取等号， 又x＋y＋z＝12 x＝y＝z＝4时，Smin＝3. 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2. [思路点拨]　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明． [思路点拨]　(1)利用＋＋＝(＋＋)(x＋y＋z)． (2)利用(＋＋)2＝ 1×＋1×＋1×)2.