有限元平面问题1.doc

§2-1 概述 弹性力学 平面问题 一.弹性力学 在材力和结力中我们已经讨论了简单杆件及杆系结构的强度计算问题。那都是属于古典力学的范畴。在平面假设的条件下，所得到的解是精确的。 对于弹性力学问题，由于取消了平面假设，使问题变得复杂化了。对于我们所讨论的问题，能使找到精确的解是非常有限的。而更多的问题是我们无法找到它的精确解（或严格叫解析解）。例如…… 二.平面问题(三个基本方程) §2-2有限元法的基本概念 在系统介绍有限元法之前，先介绍几个简单的概念 一、结构离散、单元和节点（NODE） 有限元的基本原理就是结构离散。意思就是化整为零。在弹性力学平面中，用有限元计算也是先对结构进行离散或分割。例如我们对平面上的一块平板进行离散。 节点 单元 节点 单元 q q 矩形单元 三角形单元 从理论上说，单元的划分是任意的。单元大小多少都是可以的。但在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元的划分既满足力学分析的要求，又能使计算相对简单。 定义 单元： 离散结构中有一定形状规则的“块”。我们称之为单元。 节点：单元之间的联系。称之为节点。 结构离散要点： A、结构复杂或载荷作用处一般单元密些，重要的部分单元密些。反之可稀。例子 B、单元划分从密到稀要尽量均匀过渡（用三角形单元） C 复杂的结构必须用三角形单元划分（真实逼近） 4 D、单元各边的长度比要适当，避免狭长矩形及大钝角三角形。结构的离散好坏，直接对计算结果有影响。 二、位移函数 位移函数是一个重要的概念。在数学上一般称为插值函数。实际上，位移函数所反映的就是单元内位移的分布规律，它是单元域中的连续函数。我们用它来人为假定单元内位移的分布情况。位移函数是人为假设的单元位移分布规律，单元类型不同位移函数的形式也不同。 三、节点和节点载荷 有限元计算要求作用载荷都是节点载荷。如果外力直接作用在节点上，或我们把外力作用点直接取为节点，它就是节点力。对于非节点的载荷要进行等效变换（或载荷移置）变成节点载荷。这个问题将会涉及到虚功等效及弹性力学中著名的St.Venant原理,这种变换只对载荷变换区域及附近区域有影响,而对远处的区域这种影响可忽略. 四、收敛性 收敛性的证明一般由数学家们完成。我们只给大家一个定性的了解及简单的定量概念。 从理论上说,我们把单元划分逐步加密,则会得到一个有限元解的序列. 第一 该序列是否收敛? 第二 该序列的极限是否是真实解? 已经有人证明了这些问题,答案是肯定的.并且,为便于检验收敛性,已经建立了三个收敛准则: (弹性力学问题) 收敛准则(由位移函数得证): 单元的位移函数能反映单元的刚体位移. 单元的位移函数能反映单元的常应变(得证:单元尺寸→小;应变→Const) 单元的位移函数在单元内部连续(连续函数必有极限) 在单元边界上协调(单元之间位移一致) 以后讲位移函数时,我们可根据这些准则来判别其收敛性. 五、计算模型的选择 计算模型的选择直接影响到计算结果的精度.实际结构千变万化,无一定之规.计算模型建立的水平体现了一个工程技术人员的工程水平和力学素养.大致可由以下几个方面去考虑. 确定问题性质:平面、空间、轴对称或其他问题 考虑细节：对复杂的工程问题，既要考虑模型的尽量简化，又要保证足够的计算精度。对简单的问题要把细节考虑周全。 突出重点,忽略次要因素。 单元类型的选择:梁、平面、弯曲板…… 载荷及约束的分析和处理。 举例说明： 例：受弯曲变形的工字钢 求中点K的位移（L》H）如何考虑. 大致从以下几个方面考虑: 弯曲梁剪力