有限元方法与软件应用有限元平面问题.doc

WORD资料 下载可编辑 技术资料专业分享 Finite Element Method 3．面力的移置 设三角形单元某边界s 上受面力q 作用，分量为，，则 取ds 则 由一般公式： 积分在边界s上 以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出 通常我们称： 为荷载移量的一般公式： 几点说明： 虚功等效静力等效。 唯一性 一般 更多节点的单元公式形式不变，但不同 虽然公式e导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的 N为x,y 的函数，若p, q再为 x, y 的函数则更难，且单移分限不好定。 因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。 四． 三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标） 1． 面积坐标的定义： 图示三角形单元 I ,j ,k 中任意一点m ，其位置可由xoy坐标系中两个坐标来确定，即m(x,y) 若我们连接,,,则形成了3 个小三角形ijm, ikm, jkm. 则有：若m(x,y)确定ijm, ikm, jkm.面积确定。 反之，ijm, ikm, jkm.面积确定m(x,y)确定 （用同底等高的概念解释！！） 因此，三角形单元内任一点可以 我们如何用三角形面积来描述m点的位置呢？ 定义：节点I对边为底的三角形面积为; 节点j对边为底的三角形面积为; 节点k对边为底的三角形面积为; 设三角形单元的面积为A 令 （2-37） 则三个比值，，称为三角形单元中m点的面积坐标. 2.三角形面积坐标的性质： 面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为 ； 三个面积坐标之和：++=1.即只有两个面积坐标是独立的。（2-38） 证明：++=++=（++）=1 （亦可几何解释）。 三角形单元内与jk边平行的直线上各点相同（轮换）。（同底等高三角形=） 形心处的面积坐标为： ===1/3 （2-39） 三角形单元节点的面积坐标为： （2-40） 证：节点I: =A. ==0. 3.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系 下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系： 设m点的坐标为m(x,y),m 为任一点 则：= =（） =[（）+（）+（）] 显然： ， ， =（） （2-41） 与表达式比较可知：三节点三角形单元的面积坐标就是其形函数。（对于一般的情况：面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示） 即=，， （2-42） 具有的全部性质 式（2-41）还可写成矩阵的形式： 直面 （2-44） 这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。 下面的结果留给大家自己证明： 面直 （2-45） 面积坐标函数的运算 我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。（证明复杂麻烦用Г函数等） 1.偏导 设z=f(,,) =g(x,y) (I= I ,j ,k) 则： （2-46） 2． 面积分 （2-47） 其中，，为正整数； 0!1, A: 三角形面积 ex: (I= I ,j ,k) 3.线积分： （s为直线长） （2-48） 以上公式要会用 注意表示的边 五． 三角形单元的荷载移置 有了面积坐标与形函数的关系，我们即可对荷载移置进行计算了。 集中力的移置 设m点作用有集中力 m点的形函数为： (I= I ,j ,k) 等效节点荷载为： 这就是三角形单元内m点作用有的等效节点荷载。只要计算出(I= I ,j ,k)即可。作为特例，考虑三角形单元形心处重力的移置。 形心坐标： ===0 ===-R 故：重力作用于形心时各节点均担。 体积力的移置 设单元作用有体力 则等效节点荷载为： = 若为x, y的函数，则把用面积坐标表示（转换） 在常体力的作用下有： === 即：常体力作用下，总体力均分三节点。 面力的移置。 设三角形单元I ,j 边上作用有梯形分布的面力q 由面力移置公式得：（可分别由节点合力表示及用节点分力表示） == （q为合力，非分力） 则 == q为x, y 的函数，把q 表示面积坐标的函数有q= ，在门边上是线性坐标，可利用两点式方程写出。 则：===== 同理： = ==+ 注意到在s上=0 =0 故：== 或：= 此法：1. 避免复杂的分离。 2.