有限元原理与应用05-4平面问题有限元法.ppt

* 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.2 三节点三角形单元的位移模式 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.2 三节点三角形单元的位移模式 形函数 shape function 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.2 三节点三角形单元的位移模式 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。 Ni =1 i j m Nj =1 i j m Nm =1 i j m 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.2 三节点三角形单元的位移模式 性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于1。 性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有 x xi xj x y N i(xi，yi) j (xj，yj) m (xm，ym) Ni(x、y) 1 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.3 单元应变和应力 应变矩阵为常量，单元内应变是常数 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.3 单元应变和应力 单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变。 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.4 三节点三角形单元的刚度矩阵 (真实的)内力的虚功(在虚位移上所做的功)与(真实的)外力的虚功的总和为零 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.4 三节点三角形单元的刚度矩阵 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.4 三节点三角形单元的刚度矩阵 对于平面应变问题，上式中： 4. 平面问题有限元法 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.4 三节点三角形单元的刚度矩阵 4. 平面问题有限元法 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.4 三节点三角形单元的刚度矩阵 4. 平面问题有限元法 4. 平面问题有限元法 4.2 三节点三角形单元 4.2.5 等效节点荷载 1 体积力的等价节点力 2 表面力的等价节点力 i j m x y i j m x y qV · (1) 位移模式选择： 上述的阶数为二次型，比三角形单元高，故可以更好地反映物体的应力、应变状态，得到更高的精度。 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.1 四节点矩形单元 (2) 形函数计算 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.1 四节点矩形单元 (2) 形函数计算 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.1 四节点矩形单元 [B]是ξ、η的函数，即是x,y的函数。因此单元中的应变不再是常数。 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.1 四节点矩形单元 (3) 单元应变 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.1 四节点矩形单元 (4) 单元应力 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.1 四节点矩形单元 (5) 单元刚度矩阵 在三角形单元i、j、m的各边中点上，各增设一个结点，使每个单元具有6个结点，则得到图示的六结点三角形单元。这种单元具有12个自由度，可以采用完全二次多项式的位移模式： 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.2 六节点三角形单元 (1) 位移模式 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.2 六节点三角形单元 (2) 面积坐标 根据假定的位移模式，按照前面的方法和过程，可以确定形函数[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]、单元刚度矩阵[k]、等效结点荷载列阵{f}，然后组装总刚和荷载列阵。但是，过程非常复杂。采用采用面积坐标可以大大简化计算。 三角形单元ijm中，任一点P（x,y）的位置，可以用如下的三个比值来确定： 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.2 六节点三角形单元 (2) 面积坐标——定义 三角形Pjm的面积为 面积坐标为 将上式中的3个式子分别乘以xi、xj、xm 并利用ai、bi、ci得 同理 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.2 六节点三角形单元 (2) 面积坐标——与直角坐标的关系 根据面积坐标与直角坐标的关系，由复合函数的求导公式，有 4. 平面问题有限元法 4.3 平面问题高次单元 4.3.2 六节点三角形单元 (2) 面积坐标——导数公式 在三