有限元方法及软件应用有限元平面问题6.doc

四．等参单元的数学分析 由于引入坐标变换，使得应变矩阵，应力矩阵及单元刚度矩阵却带来了坐标变换的问题。 坐标变量的变换式 等参单元的坐标变换为： 形函数编导的变换式 由复合函数求导有： 由坐标变换式知: x,y 可用表示，但由于不是线性坐标变换，故我们不能把用x,y来表示。故要用矩阵求逆的方法来处理。 ∵ 写成矩阵形式： 令 则： 用表示x,y 由于x,y及均可表示为的显式函数。故是可求的。 为的伴随矩阵，由的代数余子式组成。为的行列式。 再由坐标变换式： 得到： 故又可表示为： 同样可求得 积分变量的变换式 在单刚及荷载移置时都要用到积分的计算。下面我们就来确定这些变换。 微分面积dA坐标变换式 在x——y系中：dA=dxdy.但被积函数不能用x,y表示。且x,y的积分限不好确定。 在系中的母单元为下图（a）把坐标系放在子单元上有下图b 在子单元上p点按的等值线取微元体dA 则： 设 则：面积矢量 = = ∴的大小为： ∵和分别是在x,y 轴上的投影。 ∴ 同理： ∴ ∴ 这就是微分面积dA的坐标变换式。在计算单刚及体力移置时要用。 微分弧长ds的变换式 弧长ds在x-y系中可表示为： ∵x=x() y=y() ∴ ∴ 在的边上 ∴ 在的边上 ∴ 以上两式为弧长ds的变换式 五． 等参单元的力学分析——单元刚度矩阵 1．应变矩阵[B] ∵ 由几何方程得： = （n为单元节点数） ∴ 令 ——分块（i=I,j,…,n） 则： ——单元的应变矩阵 2．应力矩阵[s]和弹性矩阵[D] 对于弹性力学平面问题，弹性矩阵总是由物理方程给出： 即： ∴ ∴ 就是单元的应力矩阵。由下式给出 也可按节点分块 这里： （i=I,j,….,n） 3. 单元的单刚矩阵： 弹性力学平面问题的单元刚度矩阵由下式给出 对于等参单元，要把微分面积换一下 这里：为的行列式。 到此，我们已经推出了等参单元的全部结果。（荷载处理除外）。对具体单元具体处理。 六．四节点等参单元 1．单元的形函数及位移函数。 四节点等参单元有4个节点I,j,k,m.为任意的四边形单元（母单元为正方形单元） 节点位移 = 坐标变换： 3. 单元的形函数 （i=I,j,k,m） 单元的位移函数： 单元的刚度矩阵 单元的应变矩阵 （i=I,j,k,m） ,由下式确定。 单元的应力矩阵： 单元的刚度矩阵 由以上给出 行列式 的计算要用下式： 这里：；。为节点坐标。显然： 8．单元荷载的移置 A: 集中力： B: 分布体力 = C: 面力：= 从以上可以看出，在单刚及荷载移置的计算中被积函数都是比较复杂的。一般要用到数值积分。 七．八节点等参单元.(一般已能满足应用——凹向确定) 1．单元的位移函数及形函数。 八节点等参单元有八个节点： I,j,k,m,1,2,3,4. 为曲边四边形单元 1）节点位移 （i=I,j,…4） 2）坐标变换 3）单元的形函数： (i=I,j,k,m) (1=1,3) (2=2,4) 4）单元的位移函数： 单元的刚度矩阵 应变矩阵 （i-I,j,…,4） ,由下式确定。 其中： 由决定。 而 应力矩阵： （i=i，j,…,4） [D]不变 [D]= 单刚： 注意矩阵的阶。 八．高斯求积法 在计算单元刚度矩阵及荷载移置时都要进行积分运算。并且，由于坐标变换使得被积函数很复杂。一般要计算数值计算 1．一维求积公式。 （面力移置） 研究。在区间[-1，1]求积分 在积分区间内选定n个高斯积分点则积分值由下式确定 ——称为高斯公式 式中：——高斯公式点（坐标） f()——积分点的被积函数值 ——求积系数（加权系数） 和都由n次荆让德（Legendre）多项式决定。高斯积分的积分点数n 一般满足 n≥ 就能满足较高的精度。这里f()为m次多项式 若f()不是多项式，则要用增加积分点，用二次计算的误差保证精度 表：高斯积分点的坐标与加权系数 n 2 1 3 , 0 ,, 4 及的数值一般已事先算出。很多书中都有。见上